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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.11 - Ex. 8b

Mostrar que:

int_(- pi)^(pi) c o s 2 x c o s 3 x d x = 0

Passo 1

Nesse tipo de questão na qual há um produto de funções trigonométricas uma boa dica é sempre pensar nas relações de transformação de produto em soma.

Como temos um produto de cosseno por cosseno, podemos nos lembrar que nas fórmulas de cos(a+b) e cos(a-b) aparece esse produto.

c o s (a + b) = c o s a c o s b - s e n a s e n b

c o s (a - b) = c o s a c o s b + s e n a s e n b

Passo 2

Seja a = 3 x e b = 2 x

c o s (5 x) = c o s 3 x c o s 2 x - s e n 3 x s e n 2 x

c o s (x) = c o s 3 x c o s 2 x + s e n 3 x s e n 2 x

Somando as duas equações acima:

(1)/(2) ( c o s (5 x) + c o s (x )) = c o s 3 x c o s 2 x

Passo 3

int_(- pi)^(pi) c o s 2 x c o s 3 x d x = int_(- pi)^(pi) (1)/(2) ( c o s (5 x) + c o s (x )) d x

int_(- pi)^(pi) (1)/(2) (c o s (5 x)) d x + int_(- pi)^(pi) (1)/(2) (c o s (x)) d x = (1)/(2) (((s e n 5 pi)/(5) - (s e n (- 5 pi))/(5)) + s e n pi - s e n (- pi))

(1)/(2) (((s e n 5 pi)/(5) - (s e n (- 5 pi))/(5)) + s e n pi - s e n (- pi)) = 0

Resposta

(1)/(2) (((s e n 5 pi)/(5) - (s e n (- 5 pi))/(5)) + s e n pi - s e n (- pi)) = 0

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