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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.11 - Ex. 23

int_(- 2)^0 (v^2)/((v^3 - 2)^2) d v

Passo 1

Para resolver esse tipo de questão é bom termos uma sacada a respeito de derivada pois ao olharmos para o denominador ele tem grau 3 e o numerado grau 2, portanto uma substituição de variável no denominador pode resolver nosso problema e é isso que vamos fazer

Passo 2

Seja

u = v^3 - 2

Derivando com relação a v a equação acima

(d u)/(d v) = (d ( v^3 - 2 ))/(d v) = 3 v^2 ⟹ d u = 3 v^2 d v

Passo 3

Substituindo na nossa integral

int_(v = - 2)^(v = 0) ((1)/(3) d u)/(u^2) = (1)/(3) int_(v = - 2)^(v = 0) u^(- 2) d u = (1)/(3) (- u^(- 1))

Retornando a nossa variável inicial

(1)/(3) (- u^(- 1)) = - (1)/(3) (v^3 - 2)^(- 1) (​|_- 2 -> 0 = - (1)/(3) (- (1)/(2) + (1)/(10)) = (2)/(15)

Resposta

int_(- 2)^0 (v^2)/((v^3 - 2)^2) d v = (2)/(15)

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