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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 107

Teoria e exemplos: Prove que underset(n -> oo)(l i m) root(n)(n) = 1 .

Passo 1

Tudo bem, gente? Preparados para mais uma questão? Então, bora lá!

A questão pede que a gente prove que underset(n -> oo)(l i m) root(n)(n) = 1 . Você provavelmente já deve ter percebido que é muito difícil aplicar o limite diretamente. Mas para isso nós temos um truque, que é tomar o logaritmo em ambos os lados:

l n (root(n)(n)) = l n (n^(1 // n)) = (l n n)/(n)

Passo 2

Beleza, pessoal! Agora é só calcular o limite. Mas, antes temos que lembrar da Fórmula 1 do Teorema 5:

underset(n -> oo)(l i m) (l n n)/(n) = 0

Agora é só tomar o limite

underset(n -> oo)(l i m) l n (root(n)(n)) = underset(n -> oo)(l i m) (l n n)/(n) = 0

e aplicar a função exponencial dos dois lados

underset(n -> oo)(l i m) root(n)(n) = underset(n -> oo)(l i m) e^(l n (root(n)(n)))^() = e^0 = 1

Prontinho! Provamos o que a questão queria. Até a próxima!

Resposta

Ver a discussão acima.

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