Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 117
Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.
117.
Passo 1
Fala, pessoal! Ficaram com dúvida nessa questão? Não tem problema, vem comigo que nós resolvemos juntos.
Para verificar a convergência da sequência, temos que saber se ela é limitada e monotônica. Se sim, então ela converge. Vamos começar testando se ela é limitada. Temos que reescrever a sequência da seguinte forma
Agora vai ficar mais fácil pra gente analisar se ela é limitada. Nós temos que notar que
Então, multiplicando por e somando em ambos os lados, obtemos
Logo, como a sequência é limitada superior e inferiormente, então ela é limitada. Falta testar a monotonicidade.
Passo 2
Agora vamos testar a monotonicidade. Seguindo o mesmo raciocínio das questões anteriores, temos que
e
Então, tomando a diferença entre e :
Logo, podemos concluir que a sequência é crescente. Ou seja, a sequência é monotônica. Além disso, ela é limitada e, por isso, converge.
Resposta
Converge.