Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.
115.
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo tranquilo? Ótimo, vem comigo para mais uma questão!
Para verificar se essa sequência converge vamos usar o Teorema 6, ou seja, se a sequência for monotônica e limitada, então ela converge. Logo, é isso que temos que testar. Vamos começar verificando se a função é limitada. Nós temos
Com isso, nós conseguimos mostrar que a função é limitada tanto superior quanto inferiormente.
Passo 2
Agora vamos testar a monotonicidade. Temos
e
Então, tomando a diferença entre e :
Logo, podemos concluir que a sequência é crescente, ou seja, monotônica. Como ela também é limitada, segue do Teorema 6 que ela converge.
Resposta
Converge