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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 115

Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.

115. a n = 1 - 1 n

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo tranquilo? Ótimo, vem comigo para mais uma questão!

Para verificar se essa sequência converge vamos usar o Teorema 6, ou seja, se a sequência for monotônica e limitada, então ela converge. Logo, é isso que temos que testar. Vamos começar verificando se a função é limitada. Nós temos

0 < 1 n ≤ 1 ⇒ - 1 ≤ - 1 n < 0

⇒ - 1 + 1 ≤ 1 - 1 n < 1

⇒ 0 ≤ 1 - 1 n < 1

Com isso, nós conseguimos mostrar que a função é limitada tanto superior quanto inferiormente.

Passo 2

Agora vamos testar a monotonicidade. Temos

a n + 1   =   1   -   1 n   +   1   =   n n   +   1

e

a n = 1 - 1 n   =   n   -   1 n

Então, tomando a diferença entre a n + 1 e a n :

a n + 1   -   a n = n n   +   1   -   n   -   1 n   =   n 2   -   ( n 2 -   n   +   n   -   1 ) n ( n   +   1 )   =   1 n 2 +   n

⇒ a n + 1   -   a n = 1 n 2 +   n   >   0  

⇒ a n + 1 >   a n  

Logo, podemos concluir que a sequência é crescente, ou seja, monotônica. Como ela também é limitada, segue do Teorema 6 que ela converge.

Resposta

Converge

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Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = n e - n
Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = n n 2 + 1
Mostre que a sequência definida por a 1 = 1 ,a n + 1 = 3 - 1 a n é crescente e que a n3 para todo n . Deduza que a n é convergente e calcule seu limite.
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 1 - n 2 + n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n