Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 30
Nos Exercícios 25-40, determine se as séries convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem. Justifique suas respostas.
30.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Para esse caso, vamos considerar o teste da integral, pensa o seguinte, considerando a seguinte série,
Onde é qualquer número inteiro, esta série só irá convergir caso a seguinte integral também seja convergente
Claro, como via de regra, é não negativa no intervalo e é uma função monotonicamente decrescente no intervalo . Com isso, já podemos notar que é aplicável para o teste da integral, já que é uma função positiva e decrescente para .
Passo 2
A série dada irá convergir se e somente se a seguinte integral convergir.
Substituindo e , os limites de integração irão mudar
Portanto, temos o seguinte resultado
Portanto, a série dada converge por teste da integral. Como todos os termos da série são positivos, a série absoluta é igual à série descrita no problema. Portanto, podemos dizer que a série converge absolutamente
Resposta
Converge absolutamente!