O que é uma sequência monotônica? Sob quais circunstâncias esse tipo de sequência tem um limite? Dê exemplos.

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Uma sequência não decrescente é uma sequência na qual os termos não aumentam. Podemos descrever isso de várias maneiras. Uma maneira é definindo para todo , outra forma seria para todo .

Do teorema da convergência monótona, uma sequência não decrescente também é uma sequência monótona. Somente se esta sequência for limitada (de cima) podemos dizer que a sequência é convergente. Para ser mais preciso matematicamente, uma sequência é limitada acima se para todo e uma sequência é limitada abaixo se para todo . Uma sequência não decrescente só convergirá se for limitada por cima. O valor para o qual a sequência converge é L.

Um exemplo de sequência não decrescente é:

Sabemos que essa sequência não decrescente é limitada por cima porque para todo , . Isso implica que esta é uma sequência não decrescente que é limitada por cima e que é considerada convergente (para o valor de L=1).

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!