Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 56
Na teoria da relatividade, a energia de uma partícula é
Em que é a massa de repouso da partícula, é seu comprimento de onda e é a constante de Planck. Esboce o gráfico de como uma função de . O que o gráfico nos diz sobre a energia?
Passo 1
Falaaaa moçadinha, show de bola?
Como diz o Homem de ferro “Eu tenho um plano. Ataque!”
Bora atacar esse problemaaaaaaa junto comigoo.
A questão nos pede para esboçar o gráfico da energia de uma partícula em função do comprimento de onda
A expressão dada para a energia é:
onde:
- é a massa de repouso da partícula,
- é a velocidade da luz,
- é a constante de Planck,
- é o comprimento de onda.
Primeiro, vamos entender a fórmula e a teoria por trás dela:
Energia de repouso: A energia de repouso de uma partícula é dada pela famosa equação de Einstein,
Nesta fórmula, é a massa de repouso e é a velocidade da luz.
Energia de uma partícula com comprimento de onda: A equação fornecida combina a energia de repouso com um termo que envolve o comprimento de onda da partícula. Esse termo adicional vem da relação entre energia, comprimento de onda, e a constante de Planck na mecânica quântica.
Para encontrar a energia total temos que combinar esses termos em uma fórmula única, que é dada na questão.
Passo 2
Precisamos encontrar a relação entre e
Vamos identificar as constantes e variáveis na fórmula:
- (massa de repouso) é uma constante.
- (velocidade da luz) é uma constante.
- (constante de Planck) é uma constante.
- (comprimento de onda) é a variável independente, ou seja, o que vamos variar para observar como muda.
Vamos manipular a equação para expressar em termos de
A fórmula é:
Para simplificar nossa análise, vamos atribuir valores razoáveis para as constantes:
-
-
-
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia para diferentes valores de e esboçar o gráfico.
Para isso, vamos utilizar um intervalo de valores de razoáveis (por exemplo, de ).
No gráfico, a energia é plotada em função do comprimento de onda
Observamos que:
- Para valores pequenos de (comprimento de onda curto), a energia é alta.
- À medida que aumenta (comprimento de onda maior), a energia diminui.
Isso reflete a relação inversa entre energia e comprimento de onda na física quântica: quanto menor o comprimento de onda, maior a energia da partícula, conforme a equação fornecida.
Essencialmente, o gráfico nos mostra que a energia de uma partícula é muito alta para comprimentos de onda muito curtos e diminui conforme o comprimento de onda aumenta, mas nunca cai abaixo da energia de repouso da partícula, que é
“Às vezes é preciso aprender a correr antes de começar a andar”
Resposta
- Para valores pequenos de (comprimento de onda curto), a energia é alta.
- À medida que aumenta (comprimento de onda maior), a energia diminui.