Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 7

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

Passo 1

A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.

Assim, precisaremos encontrar:

O domínio da função, que são os valores que o pode assumir.

As interseções com eixos, que são os valores de quando e de quando .

Limites no infinito, onde faremos:

Intervalos de crescimento e os pontos críticos, onde analisaremos o sinal da derivada da função, fazendo:

Fazer um estuda da concavidade

E qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Então vem ver tudo isso.

Passo 2

O primeiro passo é definir o domínio de , isto é, o conjunto dos valores de para os quais está definida. Perceba que nossa função é dada por:

Como ela é uma função polinomial não existe restrição para o seu domínio.

Assim, temos que:

Passo 3

Agora devemos definir as interseções com os eixos.

Para o eixo a interseção é dada por e para o eixo fazemos e isolamos o .

Assim, temos que:

E colocando em evidência, ficamos com:

Assim:

Passo 4

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

(I) Se para todo em , é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo . Caso isso ocorra basta refletir a curva em torno do eixo para obter a curva completa.

(II) Se para todo em , é uma função ímpar e é simétrica em relação �� origem. Caso isso ocorra basta girar a curva em em torno da origem para obter a curva completa.

(III) Se para todo em , onde é uma constante positiva, é uma função periódica e o menor desses números é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Para esta função, tomando :

(I)

(II)

(III)

Não possui período.

Logo como satisfaz o caso ii, é uma função ímpar.

Passo 5

Devemos verificar agora se a função possui assíntotas:

Assíntota horizontal:

Se então a reta é uma assíntota horizontal da curva .

Se resultar que , então não temos uma assíntota à direita.

Assíntota vertical: a reta é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

Temos:

E para este caso não temos nenhuma assíntota vertical, logo não há assíntotas.

Passo 6

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos e encontramos os intervalos nos quais é positiva ( é crescente) e os intervalos nos quais é negativa ( é decrescente).

Derivando, temos:

Que pode ser escrita como:

Ou melhor:

Assim:

Logo, é crescente para e .

Passo 7

Calcularemos agora os pontos críticos, números em que ou . Aplicando o Teste da Derivada, se muda de positiva para negativa em um número crítico , então é um máximo local. Se muda de negativa para positiva em , então é um mínimo local.

Temos que:

Observe que como a função é infinita, ela não possui máximo ou mínimo local, os pontos encontrados são onde a função muda a concavidade que veremos no próximo passo.

Passo 8

Calcularemos agora a concavidade da função utilizando . Se a função é côncava para cima e se a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

E derivando, ficamos com:

Assim:

E podemos concluir que:

Então é côncava para baixo com nos intervalos de e e côncava para cima com nos intervalos e , vale lembrar que é uma função ímpar, logo possui simetria na origem.