Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.8 - Ex. 5

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ x n 2 n + 1  

Passo 1

Através do enunciado, vemos que

a n = x n 2 n + 1

No Teste da Razão, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

onde

L < 1 ,         a   s é r i e   é   a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e L > 1 ,           a   s é r i e   é   d i v e r g e n t e L = 1 ,           n ã o   s e   p o d e   t i r a r   c o n c l u s õ e s

Ao aplicar o Teste da Razão na série dada, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 2 n + 1 + 1 2 n + 1 x n

Reescrevendo a equação acima de forma mais simplificada, obtemos

lim n → ∞ ⁡ x n x 2 n + 2 + 1 2 n + 1 x n = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 2 n + 3 x

Colocando n em evidência, obtemos

lim n → ∞ ⁡ 2 + 1 / n 2 + 3 / n x = | x |

Logo, para ser convergente

L = | x | < 1

Portanto, o raio de convergência R = 1 .

Passo 2

Agora devemos avaliar o intervalo de convergência.

Sabemos que o intervalo é ( - 1 ,   1 ) , porém devemos testar a convergência nas extreminades para definir onde é aberto e onde é fechado.

Para x = - 1 , temos que

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n 2 n + 1

Através do Teste da Série Alternada, vemos que esta série converge.

Solução:

b n = 1 2 n + 1

i b n + 1 ≤ b n

i i   lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 1 = 0

Para x = 1 , temos que

∑ n = 1 ∞ ( 1 ) n 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1

Esta série diverge. Podemos ver através do Teste da Comparação com a série harmônica e divergente

∑ n = 1 ∞ 1 2 n = 1 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n

Mas pera, se temos

1 2 n + 1 < 1 2 n

Como fazer agora?

Calma, podemos fazer a mudança 2 n + 1 = m → n = m 2 - 1 2 . Quando n = 1 :

m 2 - 1 2 = 1

m = 3

Portanto:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 = ∑ m = 3 ∞ 1 m

Que é a mesma série harmônica, só que começando pelo 3 , logo, ela diverge!

Portanto o intervalo de convergência é

[ - 1,1 )

Resposta

R = 1

[ - 1,1 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 37-40, encontre o raio de convergência da série. ∑ n = 1 ∞ 2 * 4 * 6 … 2 n 2 * 5 * 8 … 3 n - 1 2 x n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n n !
Nos Exercícios 37-40, encontre o raio de convergência da série. ∑ n = 1 ∞ n ! 3 * 6 * 9 * … * 3 n x n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ x n n ( ln ⁡ n ) 2
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ x n n n 3 n