Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.7 - Ex. 7
Teste a convergência ou divergência da série.
Passo 1
Faaaala, minha galera bonita, tudo certinho?
A questão pede pra gente classificar a série em divergente ou convergente escolhendo um dos métodos.
Primeiro, olhando essa série, tá vendo que ela se parece com uma função?
Vamos fazer uma comparação?
Esse é um típico caso de série em que devemos aplicar o Teste da Integral. Por quê?
Porque é uma função relativamente tranquila de se buscar um cálculo de integral e através dela ver se converge ou diverge.
Ou seja, se a gente fizer a integral da função e encontrarmos um valor finito, então a integral converge e a série que estamos comparando também irá convergir. Caso contrário, a integral seja divergente e a série que estamos comparando também irá divergir.
Antes de integrar, a gente só precisa lembrar dos critérios de uso do Teste da Integral: a função precisa ser contínua, positiva e decrescente. Então primeiro a gente vai provar isso. E depois vamos integrar
Então...Partiu integrar? 
Passo 2
Primeiramente, vamos analisar se essa função ela obedece a três comandos simples para que a gente possa utilizar o Teste da Integral:
Ela é positiva? Para qualquer valor que você substituir em , como se define na equação, ela será uma função positiva.
Ela é contínua? Com certeza, você vai substituindo e vai embora junto com ela.
E por último, ela é uma função decrescente? A função logarítmica é sempre crescente e a raiz não muda isso. Como ela está no denominador e ainda está multiplicada por , então quanto maior o valor de , menor a função. Sim, ela é decrescente!
Perfeito, todos os pré-requisitos válidos!
Então vamos jogar a função numa integral:
Lembrando que os limites de integração são definidos pelos índices do somatório da série dada na questão.
Passo 3
Um dos limites de integração é infinito, então iremos utilizar do método da integral imprópria, que é levar a integral ao limite. Vamos trocar o infinito por uma variável finita e depois fazer o limite com essa variável tendendo ao infinito:
Então vamos fazer essa integral aqui primeiro:
Passo 4
Para resolver aquela integral, vamos trabalhar com o método da substituição, considerando que
Aplicando essa substituição, temos que:
Escrevendo o integrando como uma potência fica mais fácil integrar:
Agora vamos ajeitar um pouquinho:
Divisão de fração: repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda:
E voltamos pra variável :
Finalmente, substituindo os limites de integração:
Passo 5
Agora, relembrando que essa integral era imprópria:
Vamos resolver o limite. Como a função logarítmica cresce e vai pro infinito, quando vai pro infinito:
Opa! Chegamos à conclusão de que a nossa integral diverge!
Portanto, pelo “Teste da Integral”, a nossa série também é divergente!
Lembra que, se caso a integral desse um número finito, iria convergir e a série também.