Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.7 - Ex. 19
Teste a convergência ou divergência da série:
19.
Passo 1
Faaaaala, gente bonita, tudo beleza?
A questão pede pra gente olhar essa série doidona e classificá-la como convergente ou divergente.
Olhando pra essa série, você percebe que ela se parece com alguma outra? Hummmmm...
Simmm! Ela se parece com as séries alternadas, que tem essa cara aqui, com uma potência de :
Nesse caso nosso seria:
Lembrando que o nosso termo geral da série será sempre um termo , certo?
Beleza... Para usarmos o Teste da Série Alternada, precisamos garantir 2 condições:
Então, vamos garantir essas condições!
Passo 2
Na primeira condição, temos que checar se o seguinte limite é igual a zero:
Mas aqui teremos uma indeterminação do tipo , então usando a técnica de derivação no limite (L’Hopital):
Mais uma vez derivando pela regra de L’Hopital:
Opa, descobrimos que ele converge pela condição .
Passo 3
Queremos saber se:
Vamos fazer um teste?
Se substituirmos , vemos que essa condição é falsa!
Mas, se por exemplo, , chutando alto:
Opa! Isso é verdade, e nos mostra também que a série é decrescente em algum ponto. Logo, ela converge pela condição .