Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.7 - Ex. 18
Teste a convergência ou divergência da série:
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem?
Nesse exercício vamos analisar a convergência da série .
Podemos observar que esta série é alternada porque o termo , que alterna os sinais dos termos da série. Por isso, vamos utilizar o Teste da Série Alternada para determinar sua convergência.
O teste da série alternada diz que uma série converge se:
- é uma sequência decrescente.
- .
Passo 2
Vamos verificar se é decrescente. Para isso, podemos analisar a função diretamente.
Considerando , podemos observar que à medida que aumenta, também aumenta, fazendo com que aumente e, consequentemente, diminua.
Portanto, é uma função decrescente para .
Embora o critério do nosso teste exija que a série seja decrescente sempre, isso não vai influenciar, porque o que importa pra convergência é o comportamento no final da série.
Passo 3
Agora, verificando se
À medida que cresce, cresce mais rapidamente que , então:
Como os dois critérios do teste da série alternada foram satisfeitos, então a série é convergente.
Resposta
Pelo teste da série alternada, a série é convergente.