Aproxime a soma da série com a precisão de quatro casas decimais:

Vamos nos recordar em que situações podemos aplicar o teorema da estimativa de séries alternadas?

O teste da série alternada diz que uma série converge se satisfazer duas condições:

1. . Sendo o valor absoluto de cada termo da série. Ou seja, a série for decrescente.

Então primeiro vamos identificar se a série é decrescente. Escrevendo alguns de seus termos:

Repare que se considerarmos apenas o valor absoluto de cada termo, o termo anterior é sempre maior que o próximo termo. Colocando isso na linguagem da matemática:

Ou seja, a primeira condição confere.

E a segunda?!

Ora podemos calcular esse limite e testar se o resultado realmente é zero.

Lembrando que considera apenas os valores em absoluto. Ou seja, devemos omitir o elemento relacionado as mudanças de sinais da série. De modo que:

Fazendo:

Clássico caso em que o denominador tende a infinito muito mais rápido que numerador.

Com isso, sabemos que ambas as condições conferem. Agora só precisamos aplicar o teorema.

O teorema das estimativas da soma diz que o erro da soma de um número de elementos é menor que o valor absoluto do termo da soma parcial . Ou seja, se encontrarmos o termo que tenha seu valor menor que o erro procurado, saberemos até onde precisamos somar os termos.

Vamos calcular os termos das séries?

Explicitando alguns termos:

Repare que o sétimo termo () possui valor absoluto

Se fizermos as somas até o termo teremos:

Perceba que a última etapa da soma não alterou nenhuma das primeiras quatro casas decimais. Isso significa que o erro ao somar os termos até o sexto termo é menor que quatro casas decimais.

Ou seja:

Arredondando para quatro casas decimais: