Teste a convergência ou divergência da série.

29.

∑ n = 1 ∞ - 1 n cosh ⁡ n

Passo 1

Gente linda do meu coração, tudo beleza?

Respira, não pira.

A questão quer a classificação dessa série como convergência ou divergência, de acordo com o método melhor aplicável.

Bom, em primeiro lugar, - 1 n   te lembra alguma coisa?? Hummmm... Teste da Série Alternada!

Ela tem essa cara aqui, ó:

∑ n = 1 ∞ - 1 n b n

Comparando com a nossa série, o termo que multiplica a potência de ( - 1 ) é:

b n = 1 cosh ⁡ n

O Teste da Série Alternada diz que a série será convergente se:

i lim n → ∞ ⁡ b n = 0

i i   b n ≥ b n + 1

Então vamos testar!

Passo 2

b n = 1 cosh ⁡ n

Vamos lançar esse carinha no limite:

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 cosh ⁡ n

Lembrando que cosh ⁡ x   é uma função hiperbólica representada desse jeito:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Portanto:

lim n → ∞ ⁡ 1 e n + e - n 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 e n + 1 e n 2

Substituindo n por :

lim n → ∞ ⁡ 1 e ∞ + 1 e ∞ 2 = 0

Então, pelo primeiro critério, sabemos que essa série vai convergir!

Passo 3

Agora precisamos verificar se:

i i   b n ≥ b n + 1

1 cosh ⁡ n ≥ 1 cosh ⁡ ( n + 1 )

A função cosh ⁡ n é crescente pra valores positivos de n . Portanto, se o denominador cresce, a função decresce.

Como ambos os critérios são atendidos, nossa série será convergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n cosh ⁡ n   é convergente

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