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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 27

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série

∑ n = 2 ∞ x n ln ⁡ n n

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo certinho?

A questão quer saber o raio de convergência R e o intervalo onde estão os valores de x para quais a série abaixo converge:

∑ n = 2 ∞ x n ln ⁡ n n

∑ a n = ∑ n = 1 ∞ x n 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 )

A gente pode fazer isso utilizando o Teste da Razão. Uma dica pra você saber quando aplicar o Teste da Razão é que ele é bem útil em séries onde temos termos com potências (como x n aqui do nosso caso). A divisão de a n + 1 e a n simplifica esses termos que são complicados de lidar. Vamos relembrar esse Teste? Basicamente temos que calcular o limite abaixo:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L      

Esse limite vai dar um certo resultado, um número que vamos chamar de L . Daí podemos ter 3 casos:

L < 1 → a série ∑ a n é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).

L > 1 → a série ∑ a n é divergente (o mesmo para L = ∞ )

L = 1 → o teste é inconclusivo.

Show? Vamo seguir!

Passo 2

Temos:

a n = x n ln ⁡ n n

Com n = n + 1

a n + 1 = x n + 1 ln ⁡ n + 1 n + 1

Aplicando na divisão, podemos multiplica a primeira fração pelo inverso da segunda para já resolvermos a divisão:

a n + 1 a n = x n + 1 ln ⁡ n + 1 n + 1 ⋅ ln ⁡ n n x n = x ⋅ 1 ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n n ⋅ ln ⁡ n

Agora,

lim n → ∞ ⁡ x ⋅ 1 ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n n ⋅ ln ⁡ n = x ⋅ 1 lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n n ⋅ ln ⁡ n + 1

x ⋅ 1 ∞ = 0 < 1

Portanto, a série converge para qualquer valor de x ! Logo, o raio é infinito e o intervalo é todos os reais.

Resposta

Raio de convergência é ∞ . O intervalo de convergência é - ∞ < x < ∞ .

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