Teste a convergência ou divergência das séries.

∑ n = 1 ∞ 3 n 1 + 8 n n

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem?

Neste exercício, vamos analisar a convergência da série ∑ n = 1 ∞ 3 n 1 + 8 n n .

Observando a série, percebemos que ela envolve uma expressão elevada à potência n . Para determinar a convergência dessa série, vamos utilizar o Teste da Raiz.

O Teste da Raiz é especialmente indicado para séries onde os termos estão elevados a uma potência n , porque ele nos ajuda a analisar o comportamento dos termos quando n tende ao infinito.

O Teste da Raiz consiste em calcular o limite:

L = lim n → ∞ ⁡ a n n

  • Se L < 1 , a série converge.
  • Se L > 1 ou L   → ∞ , a série diverge.
  • Se L = 1 , o teste é inconclusivo.

Passo 2

Para a nossa série, temos:

a n = 3 n 1 + 8 n n

Aplicando a raiz n -ésima:

a n n = 3 n 1 + 8 n n n =   3 n 1 + 8 n

Agora, vamos calcular o limite:

L = lim n → ∞ ⁡ 3 n 1 + 8 n

Dividindo numerador e denominador por n temos:

L = lim n → ∞ ⁡ 3 n n 1 + 8 n n = lim n → ∞ ⁡ 3 1 n + 8

Passo 3

À medida que n tende ao infinito, 1 n tende a 0 . Portanto, a expressão se simplifica para:

L = 3 8

Como L = 3 8 < 1 , pelo Teste da Raiz, podemos concluir que a série é convergente.

Resposta

A série ∑ n = 1 ∞ 3 n 1 + 8 n n é convergente.

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