Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 6

Teste a convergência ou divergência das séries.

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem?

Neste exercício, vamos analisar a convergência da série .

Observando a série, percebemos que ela envolve uma expressão elevada à potência . Para determinar a convergência dessa série, vamos utilizar o Teste da Raiz.

O Teste da Raiz é especialmente indicado para séries onde os termos estão elevados a uma potência , porque ele nos ajuda a analisar o comportamento dos termos quando tende ao infinito.

O Teste da Raiz consiste em calcular o limite:

Se , a série converge.
Se ou , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.

Passo 2

Para a nossa série, temos:

Aplicando a raiz -ésima:

Agora, vamos calcular o limite:

Dividindo numerador e denominador por temos:

Passo 3

À medida que tende ao infinito, tende a . Portanto, a expressão se simplifica para:

Como , pelo Teste da Raiz, podemos concluir que a série é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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