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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.7 - Ex. 3

Teste a série quanto a sua convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 - 1 n 3 + 1  

Passo 1

E aí galera, tudo bem?

Para resolver essa parada, percebam estamos lidando com uma série alternada do tipo ∑ - 1 n b n , certo? Nesse caso, podemos usar o Teste da Série Alternada. Que nos diz que se a série satisfizer as seguintes condições:

i   b n + 1 ≤ b n

i i   lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Então ela é convergente.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o termo b n + 1 :

b n + 1 = ( n + 1 ) 2 - 1 ( n + 1 ) 3 + 1

Temos que:

b n = n 2 - 1 n 3 + 1

Logo:

b n + 1 ≤ b n

( n + 1 ) 2 - 1 ( n + 1 ) 3 + 1 ≤ n 2 - 1 n 3 + 1

Aqui, percebemos que temos uma potência de n maior no denominador do termo b n + 1 do que no termo b n . Como os denominadores estão aumentando mais rapidamente do que os numeradores, podemos concluir que b n é decrescente. Então, satisfaz a condição i .

Passo 3

Em seguida, vamos verificar a condição ( i i ) :

lim n → ∞ ⁡ b n = 0

lim n → ∞ ⁡ n 2 - 1 n 3 + 1 =   ?

Dividindo o numerador de denominador por n 3 , obtemos

lim n → ∞ ⁡ 1 n - 1 n 3 1 + 1 n 3 = 0

Portanto, a condição i i também é satisfeita.

Como as duas condições foram satisfeitas, nossa série é convergente!!

Resposta

A série é convergente.

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Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n sen ⁡ π n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 ln ⁡ n + 4
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 2 n
(a) O que é uma série alternada? (b) Sob que condições uma série alternada converge? (c) Se essas condições forem satisfeitas, o que você pode dizer sobre o resto depois de n termos?
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n