Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 4
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Vamos lá galerinha, mais uma vez estamos interessados em saber se uma série converge para um valor fixo ou não. Veja que nessa série o primeiro termo é positivo, enquanto o segundo é negativo, o terceiro é positivo e assim segue.
O que isso nos diz? Meu amigo, vou te dar uma informação preciosa!!!
Se temos uma série que seus termos se alternam entre positivos e negativos, então temos uma série alternada, e então eu posso utilizar o teste de convergência de séries alternadas.
E eu já sei o que você está pensando nesse exato momento. “E o que é o teste de séries alternadas?”
Fique atento nessa parte,! S se eu “criar” uma série associada à série alternada que quero investigar, de modo que minha série seja apenas os valores absolutos dos termos da série alternada, eu posso descobrir a convergência da série alternada ao analisar alguns critérios da série recém-criada.
As séries alternadas tem uma das duas formas gerais a seguir:
Aqui vai ser essa série associada, cujos termos são os valores absolutos de .
E o Teste da Série Alternada diz que a série é convergente se atender a dois critérios:
Se Veja:
- A série alternada é . Então a série criada é , se for decrescente
- Se
Então nós temos que testar esses dois critérios. Mas antes de qualquer coisa, a gente tem que definir esse termo geral e depois o , já que o enunciado nos dá apenas os primeiros termos.
e tiver seu limite quando n. Então ambas as séries são convergente.
Vamos ver na prática?
Passo 2
Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:
Então vamos entender esse comportamento pra definir nosso termo geral.
Como já vimos no passo 1, a série é alternada. E como os termos negativos são os de índice par, nossa série vai ter o seguinte formato:
Outra característica é que o numerador é sempre 1. E o denominador é sempre um logaritmo natural do índice mais 2.
Então, pPodemos reescrever essa série da seguinte forma:
Perceba que ao aplicar o módulo nessa série, teremos apenas o valor absoluto de cada termo. Ou seja, o elemento responsável pela mudança de sinal pode ser ignorado. Temos que:
Agora vamos ao Teste das Séries Alternadas!
Passo 3
Vamos verificar se as condições para convergência são atendidas?
1)
é, de fato, decrescente porque o denominador cresce conforme o valor de cresce!
- Vamos ver o limite agora.
Como as duas condições foram atendidas, podemos dizer que, pelo Teste da Série Alternada, a série converge!
Resposta
A série converge!