Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 4

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Vamos lá galerinha, mais uma vez estamos interessados em saber se uma série converge para um valor fixo ou não. Veja que nessa série o primeiro termo é positivo, enquanto o segundo é negativo, o terceiro é positivo e assim segue.

O que isso nos diz? Meu amigo, vou te dar uma informação preciosa!!!

Se temos uma série que seus termos se alternam entre positivos e negativos, então temos uma série alternada, e então eu posso utilizar o teste de convergência de séries alternadas.

E eu já sei o que você está pensando nesse exato momento. “E o que é o teste de séries alternadas?”

Fique atento nessa parte,! S se eu “criar” uma série associada à série alternada que quero investigar, de modo que minha série seja apenas os valores absolutos dos termos da série alternada, eu posso descobrir a convergência da série alternada ao analisar alguns critérios da série recém-criada.

As séries alternadas tem uma das duas formas gerais a seguir:

Aqui vai ser essa série associada, cujos termos são os valores absolutos de .

E o Teste da Série Alternada diz que a série é convergente se atender a dois critérios:

Se Veja:

A série alternada é . Então a série criada é , se for decrescente
Se

Então nós temos que testar esses dois critérios. Mas antes de qualquer coisa, a gente tem que definir esse termo geral e depois o , já que o enunciado nos dá apenas os primeiros termos.

e tiver seu limite quando n. Então ambas as séries são convergente.

Vamos ver na prática?

Passo 2

Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:

Então vamos entender esse comportamento pra definir nosso termo geral.

Como já vimos no passo 1, a série é alternada. E como os termos negativos são os de índice par, nossa série vai ter o seguinte formato:

Outra característica é que o numerador é sempre 1. E o denominador é sempre um logaritmo natural do índice mais 2.

Então, pPodemos reescrever essa série da seguinte forma:

Perceba que ao aplicar o módulo nessa série, teremos apenas o valor absoluto de cada termo. Ou seja, o elemento responsável pela mudança de sinal pode ser ignorado. Temos que: