Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

26.

∫ t 1 + t ³ d t

Passo 1

Fala, galera. Tudo show?

A questão quer que a gente calcule a integral dada e depois descobrir qual o raio de convergência dela.

Primeiro precisamos descobrir qual a série de potência de t 1 + t ³ .

Depois de encontrada, podemos calcular a integral.

Desta forma a série de potência é:

t 1 + t 3

t 1 1 - - t 3

t ∑ n = 0 ∞ - t 3 n

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n t 3 n + 1

Passo 2

Agora que sabemos qual é a série de potência podemos calular a integral.

∫ t 1 + t 3 d t

∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 3 n + 1 d t

C + ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n t 3 n + 2 3 n + 2

Passo 3

Calculando o raio de convergência, podemos colocar nessa fórmula (é o inverso do Teste da Razão):

R = lim n → ∞ ⁡ c n c n + 1

lim n → ∞ ⁡ 3 n + 5 3 n + 2

lim n → ∞ ⁡ n 3 + 5 n n 3 + 2 n

Como 1 ∞ tende a zero:

3 3 = 1

Resposta

∫ t 1 + t ³ d t = C + ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n t 3 n + 2 3 n + 2

Raio de convergência: R = 1

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