Enunciado

Teste a série quanto a sua convergência ou divergência.

∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )  

Passo 1

A principal estratégia para resolver esse tipo de questão sem perda de tempo e esforço é classificando a série de acordo com a sua forma.

A série do enunciado possui a k como uma função algébrica de k envolvendo raízes e polinômios. Nestes casos, a melhor opção costuma ser a comparação com uma série p .

Vamos utilizar o Teste de Comparação de Limite.

Passo 2

Vamos definir a série p com a qual iremos comparar a série dada pelo enunciado.

Na série dada, temos no numerador o termo dominante k 3 = k 1 / 3 e no denominador o termo dominante k k = k 3 / 2 . Portanto, a série para comparação será

∑ b n = k 3 k k = k 1 / 3 k 3 / 2 = 1 k 7 / 6

Esta é uma série p com p = 7 / 6 > 1 , portanto é convergente.

Passo 3

O Teste de Comparação de Limite é definido como

lim n → ∞ ⁡ a n b n = c

Onde c é um número finito e maior que zero.

Temos que

a n = k 3 - 1 k ( k + 1 )

b n = 1 k 7 / 6

Logo,

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ k 3 - 1 k ( k + 1 ) k 3 / 2 k 1 / 3 = lim n → ∞ ⁡ k 11 / 6 - k 3 / 2 k 11 / 6 + k 4 / 3

Dividindo o numerador e denominador por k 11 / 6 , obtemos

lim n → ∞ ⁡ 1 - k - 1 / 3 1 + k - 1 / 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 / k 3 1 + 1 / k = 1

Portanto, temos que

c = 1 > 0

Como a série ∑ b n é convergente, a série dada pelo enunciado também será convergente.

Resposta

convergente

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