Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 122
Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.
122.
Passo 1
Fala, galera! Ficaram com dúvida nessa questão? Então, vem comigo que a gente resolve essa.
Para saber se a sequência converge, temos que testar se ela é limitada e monotônica. A primeira parte a gente consegue verificar se a sequência tem um limitante inferior e um superior. A segunda parte a gente consegue testando se a sequência é decrescente ou crescente. Em ambos os casos ela é monotônica. Antes de começar, vamos reescrever a sequência
Passo 2
Vamos testar se a sequência é limitada. Para isso, temos que notar que
Então, somando na desigualdade, obtemos
Ou seja, a sequência é sim limitada.
Passo 3
Por último, mas não menos importante, vamos testar a monotonicidade. Para isso, precisamos notar que
e
O próximo passo é tomar a diferença entre e :
Como , então . Logo,
Assim, podemos concluir que a sequência é decrescente. Como é limitada e monotônica, então converge.
Resposta
Converge.