Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 11
Teste a convergência ou divergência da série:
Passo 1
Olá, pessoal! Tudo bem?
Neste exercício, vamos testar a convergência da série .
Vamos observar que a série tem a forma , onde . Este formato indica que é uma série alternada devido ao fator , que faz os termos da série alternarem entre positivos e negativos.
Para determinar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série é convergente se:
- for positiva, ou seja, .
- for decrescente.
- .
Passo 2
Vamos verificar cada uma dessas condições para .
Para , temos , portanto:
Agora, precisamos verificar se diminui conforme aumenta, ou seja, se é sempre decrescente para . Para isso, podemos verificar a derivada da função :
A derivada é:
Aplicando a regra do quociente, temos:
Para , , então . Portanto, , o que implica que está sempre diminuindo para .
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite:
À medida que tende ao infinito, cresce sem limite, então:
Como todas as condições de Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série é convergente.
Resposta
A série é convergente.