Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 15
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Antes de começarmos a resolver a questão, precisamos entender o que é o numerador da nossa série. Para isto, vamos começar a dar valores para e observar o que isto implica na solução.
Para , temos .
Para , temos .
Para , temos .
Para , temos .
Se continuarmos a nossa análise, vamos perceber que:
Portanto, temos uma série alternada!
Para que a mesma seja convergente, ela deve satisfazer o teste da série alternada. E o mesmo nos pede que, seja a seguinte série
Então,
Se estes dois critérios forem satisfeitos, então, a série é convergente. Caso contrário, é uma série divergente.
Passo 2
Vamos checar cada um dos pontos do Teste. Começando pelo fato que , isto é, checar se a nossa função é decrescente. Para a nossa questão,
Consequentemente, temos:
E assim por diante. A função é uma função decrescente. Por isto, ela satisfaz o primeiro critério do teste!
Passo 3
Para testarmos o segundo critério, temos que analisar o limite da função. Portanto,
Como este limite tende a zero, satisfaz o segundo critério do teste. Como os dois critérios foram satisfeitos, a nossa série é convergente!
Resposta
A série é convergente.