Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.9 - Ex. 23

Utilize coordenadas esféricas.

Calcule ∭ E ( x 2 + y 2 ) d V , onde E está entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 4 e x 2 + y 2 + z 2 = 9 ;

Passo 1

Vamos primeiro saber qual é essa região E em coordenadas esféricas, ok? Temos duas esferas, e sabemos que representar uma esfera é bem tranquilo! A primeira esfera ( x 2 + y 2 + z 2 = 4 ) tem raio ρ = 2 e a segunda x 2 + y 2 + z 2 = 9 tem raio igual a ρ = 3 , ok até aqui?

Os ângulos θ e ϕ também sabemos, pois como é uma esfera completa fazemos toda a volta, logo 0 ≤ θ ≤ 2 π e vamos de cima até embaixo no eixo z , ou seja, queremos os dois hemisférios, então 0 ≤ ϕ ≤ π .

Passo 2

Agora vamos ao integrando. Em coordenadas esféricas temos as seguintes relações fundamentais:

x = ρ s e n ϕ c o s θ y = ρ s e n ϕ s e n θ z = ρ c o s ϕ

Sendo assim o integrando fica desse jeito saca só:

x 2 + y 2 = ρ s e n ϕ c o s θ 2 + ρ s e n ϕ s e n θ 2

ρ 2 s e n 2 ϕ s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = ρ 2 s e n 2 ϕ

E o d V ? Em esféricas temos d V = ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ ! Agora é só substituir tudo isso na integral e resolver! Bora lá?

Passo 3

∭ E ( x 2 + y 2 ) d V =   ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 2 3 ( ρ 2 s e n 2 ϕ ) ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Como as variáveis são independentes, podemos resolver cada uma individualmente:

∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π s e n 3 ϕ   d ϕ ∫ 2 3 ρ 4 d ρ = ∫ 0 2 π d θ   ∫ 0 π s e n 3 ϕ d ϕ     . ρ 5 5 ρ = 2 ρ = 3

Aplicando os limites em ρ temos:

∫ 0 2 π d θ   ∫ 0 π s e n 3 ϕ d ϕ     . 3 5 5 - 2 5 5 = 211 5 ∫ 0 2 π d θ   ∫ 0 π s e n 3 ϕ d ϕ   = 211 5 ∫ 0 π s e n 3 ϕ d ϕ . θ 0 2 π

= 422 π 5 ∫ 0 π s e n 3 ϕ   d ϕ

Agora aqui vou usar um truque sujo! Vou separar esse s e n 3 ϕ na multiplicação de s e n ϕ   . s e n 2 ϕ e usar a relação fundamental da trigonometria s e n 2 ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1 , assim fico com dois termos:

∭ E ( x 2 + y 2 ) d V = 422 π 5 ∫ 0 π s e n ϕ ( 1 - cos 2 ⁡ ϕ )   d ϕ = 422 π 5 ∫ 0 π s e n ϕ - s e n ϕ cos 2 ⁡ ϕ d ϕ  

A primeira integral nós sabemos de cor, e a segunda? A segunda a gente usa a técnica da substituição simples! u = c o s ϕ e d u = - s e n ϕ , certo?

∭ E ( x 2 + y 2 ) d V = 422 π 5 - c o s ϕ + cos 3 ⁡ ϕ 3 0 π = 422 π 5 1 - 1 3 + 1 - 1 3 = 422 π 5 2 - 2 3 = 422 π 5 6 - 2 3 = 1688 π 1 5

Ufa! Chegamos ao final! Bora pra próxima?

Resposta

1688 π 1 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular ∭ T d V , onde T é a região delimitada por x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , z = 0 e z = 3 3 a .
Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 + z 2 ) . d V , onde T é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 e exterior ao cone z 2 = x 2 + y 2
Calcular ∭ T ( x ) . d V , onde T é a região limitada por x 2 + ( y - 3 ) 2 + ( z - 3 ) 2 = 9 .
Calcular as seguintes integrais: ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 ( e x 2 + y 2 + z 2 ) d z . d y . d x
Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 + z 2 ) d V , onde T é a região delimitada por x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 .