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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.9 - Ex. 24

Utilize coordenadas esféricas.

Calcule ∭ E ( y 2 ) d V , onde E está entre x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 e z ≥ 0 ;

Passo 1

Vamos primeiro saber qual é essa região E em coordenadas esféricas, ok? Temos a região abaixo de uma esfera e temos a parte positiva do eixo z e sabemos que representar uma esfera é bem tranquilo! A esfera ( x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 ) tem raio ρ = 3 e temos que ρ é sempre positivo, então 0 ≤ ρ ≤ 3 .

Os ângulos θ e ϕ também sabemos, pois como é uma esfera ela metade (a metade positiva) fazemos toda volta no ângulo θ , logo 0 ≤ θ ≤ 2 π , mas vamos de cima até a metade no eixo z , ou seja, então 0 ≤ ϕ ≤ π / 2 .

Passo 2

Agora vamos ao integrando. Em coordenadas esféricas temos as seguintes relações fundamentais:

x = ρ s e n ϕ c o s θ y = ρ s e n ϕ s e n θ z = ρ c o s ϕ

Sendo assim o integrando fica desse jeito saca só:

y 2 = ρ s e n ϕ s e n θ 2

= ρ 2 s e n 2 ϕ s e n 2 θ

E o d V ? Em esféricas temos d V = ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ ! Agora é só substituir tudo isso na integral e resolver! Bora lá?

Passo 3

∭ E ( y 2 ) d V =   ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 3 ( ρ 2 s e n 2 ϕ s e n 2 θ ) ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Como as variáveis são independentes, podemos resolver cada uma individualmente, primeiro em ρ :

∫ 0 2 π s e n 2 θ d θ ∫ 0 π / 2 s e n 3 ϕ   d ϕ ∫ 0 3 ρ 4 d ρ = ∫ 0 2 π s e n 2 θ d θ   ∫ 0 π / 2 s e n 3 ϕ d ϕ     . ρ 5 5 ρ = 0 ρ = 3

∭ E y 2 d V = 3 5 5 ∫ 0 2 π s e n 2 θ d θ   ∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ d ϕ = 3 5 5 . 1 2 θ - 1 2 s e n 2 θ 0 2 π ∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ   d ϕ

= 3 5 5 . 1 2 ( 2 π - 0 ) ∫ 0 π / 2 s e n 3 ϕ   d ϕ

= 3 5 5 π ∫ 0 π / 2 s e n 3 ϕ   d ϕ

Agora aqui vou usar um truque sujo! Vou separar esse s e n 3 ϕ na multiplicação de s e n ϕ . s e n 2 ϕ e usar a relação fundamental da trigonometria s e n 2 ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1 , assim fico com dois termos:

= 3 5 5 π ∫ 0 π / 2 s e n ϕ ( 1 - cos 2 ⁡ ϕ )   d ϕ

A primeira integral nós sabemos de cor, e a segunda? A segunda a gente usa a técnica da substituição simples! u = c o s ϕ e d u = - s e n ϕ , certo?

∭ E ( y 2 ) d V = 3 5 5 π - c o s ϕ + cos 3 ⁡ ϕ 3 0 π / 2 = π 3 5 5 - 0 + 0 3 + 1 - 1 3 = π 3 5 5 1 - 1 3

E finalmente temos o valor da integral:

∭ E ( y 2 ) d V = 162 π 5

Resposta

162 π 5

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Calculee) ∫ ∫ ∫ B z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é conjuntoz ≥ x 2 + y 2 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .
Calculec) ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 4 + y 2 9 + z 2 ≤ 1 , x ≥ 0 .
Calculeb) ∫ ∫ ∫ B z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto z ≥ 0 , 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 .
Calcule a massa do sólido x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 e z ≥ x 2 + y 2 Supondo que a densida no ponto ( x , y , z ) é proporcional à distância deste ponto ao plano x y .
Calcule ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x ≥ 0 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 .