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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 8

int_(- 1)^1 int_0^(2 pi) int_0^(1 + cos (theta)) 4 r d r d theta d z

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Então vamos lá, sobre as técnicas, eu vou somente comentá-las sem provar (pode ficar à seu cargo, amigo, prova-las. Economizarei aqui para tomar espaço)

Dito isso, temos:

int_(- 1)^1 int_0^(2 pi) int_0^(1 + cos (theta)) 4 r d r d theta d z

Passo 2

int_(- 1)^1 int_0^(2 pi) ( 2 [r^2]_0^(1 + cos (theta)) d theta d z

int_(- 1)^1 int_0^(2 pi) 2 ( 1 + cos^2 (theta) + 2 cos (theta) ) d theta d z

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

int_(- 1)^1 ( 2 int_0^(2 pi) d theta + 2 int_0^(2 pi) cos^2 (theta) d theta + 4 int_0^(2 pi) cos (theta) d theta ) d z

Passo 3

Sabemos qu cos^2 (theta) = (1)/(2) (1 + cos (2 theta)) . Logo:

int_(- 1)^1 ( 2 [theta]_0^(2 pi) + 2 int_0^(2 pi) (1)/(2) ( 1 + cos (2 theta) ) d theta + 4 [s e n (theta)]_0^(2 pi) ) d z

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

int_(- 1)^1 ( 4 pi + int_0^(2 pi) d theta + int_0^(2 pi) cos (2 theta) d theta ) d z

Sabemos que: c o s int (a x) = (1)/(a) s e n (a x) + C . Assim:

int_(- 1)^1 (4 pi + [theta]_0^(2 pi) + [s e n (2 theta)]_0^(2 pi)) d z

int_(- 1)^1 (4 pi + 2 pi) d z

6 pi int_(- 1)^1 d z

6 pi [z]_0^(2 pi)

12 pi

Resposta

12 pi

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