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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 7

int_0^(2 pi) int_0^3 int_0^(z // 3) r^3 d r d z d theta

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Então vamos lá, sobre as técnicas, eu vou somente comentá-las sem provar (pode ficar à seu cargo, amigo, prova-las. Economizarei aqui para tomar espaço)

Dito isso, temos:

int_0^(2 pi) int_0^3 int_0^(z // 3) r^3 d r d z d theta

Passo 2

int_0^(2 pi) int_0^3 ((1)/(4) [r^4]_0^((z)/(3))) d z d theta

int_0^(2 pi) int_0^3 (z^4)/(4 xx 3^4) d z d theta

int_0^(2 pi) ([z^5]_0^3)/(4 xx 3^4 xx 5) d theta

(3^5)/(4 xx 3^4 xx 5) int_0^(2 pi) d theta

(3^5)/(4 xx 3^4 xx 5) [theta]_0^(2 pi)

(3 pi)/(10)

Passo 3

E concluímos que facilitou de fato essa nova forma de posicionar as diferencias, se comparado aos método usados nas equações anteriores.

Resposta

(3 pi)/(10)

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Calcular ∭_T^() d V , onde T é a região limitada por x^2 + y^2 - x = 0 e x^2 + y^2 + z^2 = 1 .
Calcular ∭ T z . d V , onde T é a região interior às superfícies z = 1 4 ( x 2 + y 2 ) e x 2 + y 2 + z 2 = 5 .
Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 ) d V , onde T é a região interior ao cilindro x 2 + y 2 = 1 e à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 .
Calcular ∭_T^() ( x^2 + y^2 ) d V , onde T é delimitada por x^2 + y^2 = 1 , x^2 + y^2 = 4 , x^2 + y^2 + z^2 = 9 e z = 0
Calcular ∭ T z . d V , onde T é a região interior às superfícies z = 0 e z = 4 - x 2 - y 2 , interior ao cilindro x 2 + y 2 = 1 .