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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 3

int_0^(2 pi) int_0^((theta)/(2 pi)) int_0^(3 + 24 r^2) d z r d r d theta

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Então vamos lá, sobre as técnicas, eu vou somente comentá-las sem provar (pode ficar à seu cargo, amigo, prova-las. Economizarei aqui para tomar espaço)

Dito isso, temos:

int_0^(2 pi) int_0^((theta)/(2 pi)) int_0^(3 + 24 r^2) r d z d r d theta

Passo 2

int_0^(2 pi) int_0^((theta)/(2 pi)) (r [z]_0^(3 + 24 r^2)) d r d theta

int_0^(2 pi) int_0^((theta)/(2 pi)) r (3 + 24 r^2) d r d theta

int_0^(2 pi) int_0^((theta)/(2 pi)) (3 r + 2 r 4^3) d r d theta

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

int_0^(2 pi) ( 3 int_0^((theta)/(2 pi)) r d r + 24 int_0^((theta)/(2 pi)) r^3 d r ) d theta

int_0^(2 pi) ( (3)/(2) [r^2]_0^((theta)/(2 pi)) + 6 [r^4]_0^((theta)/(2 pi)) ) d theta

int_0^(2 pi) (3 theta^2)/(8 pi^2) (1 + ((theta)/(pi))^2) d theta

(3)/(8 pi^2) int_0^(2 pi) theta^2 (1 + (theta^2)/(pi^2)) d theta

(3)/(8 pi^2) int_0^(2 pi) ( theta^2 + (theta^4)/(pi^2) ) d theta

Passo 3

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

(3)/(8 pi^2) ( int_0^(2 pi) theta^2 d theta + (1)/(pi^2) int_0^(2 pi) theta^4 d theta )

(3)/(8 pi^2) ((1)/(3) [theta^3]_0^(2 pi) + (1)/(5 pi^2) [theta^5]_0^(2 pi))

(17 pi)/(5)

Resposta

(17 pi)/(5)

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