Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 60

Encontre o volume do toro que resulta quando a região interior ao círculo de raio r com centro em um ponto h ,   0 ,   h > r , gira em torno do eixo y . [Sugestão: Use fórmulas apropriadas de Geometria plana para ajudar no cálculo da integral definida.]

Passo 1

Bom galera, o volume do toro é obtido pela arruela perpendicular ao eixo y , vamos começar separando a equação do circulo que temos na questão:

x - h 2 + y 2 = r 2

Assim a equação para a metade direita do circulo, que vamos chamar de w ( y ) é:

x = h + r 2 - y 2 1 / 2

Já a metade esquerda do circulo que vamos chamar v ( y ) é dada por:

x = h - r 2 - y 2 1 / 2

Passo 2

Belezinha, o volume vai ser dado pela integral da diferença das funções:

V = ∫ - r r π w y 2 - v y 2 d y

→ V = ∫ - r r π h + r 2 - y 2 1 / 2 2 - h - r 2 - y 2 1 / 2 2 d y

→ V = π ∫ - r r 4 h r 2 - y 2 1 / 2   d y

→ V = 4 h π ∫ - r r r 2 - y 2 1 / 2   d y

Passo 3

Show de bolinhas, agora pra a gente resolver essa integral a gente vai ter que fazer uma substituição trigonométrica, onde:

y = r sin ⁡ t

→ d y = r cos ⁡ t   d y

E assim nosso intervalo vai ser de: - π / 2 ≤ t ≤ π / 2 , assim ficamos com a integral:

V = 4 h π ∫ - r r r 2 - y 2 1 / 2   d y

→ V = 4 h π ∫ - π / 2 π / 2 r 2 - r 2 sin 2 ⁡ t 1 2 ( r cos ⁡ t )   d t

→ V = 4 h π ∫ - π 2 π 2 r cos 2 ⁡ t   d t

→ V = 4 h π 1 2 t + 1 4 sin ⁡ 2 t - π 2 π 2

→ V = 4 r 2 h π π 2 = 2 π 2 r 2 h

Resposta

V = 2 π 2 r 2 h

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 15-18, determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo dado.12- Determine o volume da pirâmide dada, que tem uma base quadrade de área 9 e altura
14- Princípio de Cavalieri Um sólido está situado entre planos perpendiculares ao eixo x em x = 0 e x = 12 . As seções transversais perpendiculares ao eixo x são discos circulares cujos diâmetros vão
Nos Exercícios 1-10, determine os volumes dos sólidos.10- A base do sólido é o disco x 2 + y 2 ≤ 1 . As seções transversais por planos perpendiculares ao eixo y entre y = - 1 e y = 1 são triângulos re
2. Deduza a fórmula para o volume de um cone circular reto com h unidades de altura e a unidades de raio da base, usando um corte.
20. Ache, por meio de um corte, o volume do tetraedro com três faces mutuamente perpendiculares e três arestas mutuamente perpendiculares, cujos comprimentos são 3, 4 e 7cm.