Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 61

Encontre o volume do toro que resulta quando a região interior ao círculo de raio r com centro em um ponto h ,   0 ,   h > r , gira em torno do eixo y . [Sugestão: Use fórmulas apropriadas de Geometria plana para ajudar no cálculo da integral definida.]

Passo 1

Bom galera, vamos começar pegando a equação do circulo:

x 2 + y 2 = r 2

A altura da cunha é y e a base da seção transversal triangular é r 2 - y 2 , logo:

tan ⁡ θ = y r 2 - y 2

Passo 2

Belezinha, a área da seção transversal é:

A y = 1 2 r 2 - y 2 r 2 - y 2 tan ⁡ θ

→ A y = 1 2 r 2 - y 2 tan ⁡ θ

Passo 3

Show de bolinhas, então vamos calcular o volume da cunha, que é:

V = 2 ∫ 0 r A y   d y

→ V = 2 ∫ 0 r 1 2 r 2 - y 2 tan ⁡ θ   d y

→ V = ∫ 0 r r 2 - y 2 tan ⁡ θ   d y

Resolvemos a integral:

V = r 2 y - y 3 3 tan ⁡ θ 0 r

→ V = r 2 y - y 3 3 tan ⁡ θ 0 r

→ V = r 3 - r 3 3 tan ⁡ θ

→ V = 2 3 r 3 tan ⁡ θ

Resposta

V = 2 3 r 3 tan ⁡ θ

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-10, determine os volumes dos sólidos.2- O sólido está situado entre planos perpendiculares ao eixo x em x = - 1 e x = 1 .As seções transversais perpendiculares ao eixo x são discos ci
Nos Exercícios 1-10, determine os volumes dos sólidos.7- A base de um sólido é a região limitada pelos gráficos de y = 3 x , y = 6 e x = 0 . As seções transversais perpendiculares ao eixo x sãoRetângu
Nos Exercícios 1-10, determine os volumes dos sólidos.7- A base de um sólido é a região limitada pelos gráficos de y = 3 x , y = 6 e x = 0 . As seções transversais perpendiculares ao eixo x sãoRetângu
Nos Exercícios 1-10, determine os volumes dos sólidos.4- O sólido está situado entre os planos perpendiculares ao eixo x em x = - 1 e x = 1 . As seções transversais perpendiculares ao eixo x entre ess
Nos Exercícios 1-10, determine os volumes dos sólidos.8- A base de um sólido é a região limitada pelos gráficos de y = x e y = x / 2 . As seções transversais perpendiculares ao eixo x são: b) semicírc