Encontre o volume do toro que resulta quando a região interior ao círculo de raio r com centro em um ponto (h, 0), h > r , gira em torno do eixo y . [Sugestão: Use fórmulas apropriadas de Geometria plana para ajudar no cálculo da integral definida.]

Passo 1

Bom galera, vamos começar pegando a equação do circulo:

x 2 + y 2 = r 2

A altura da cunha é y e a base da seção transversal triangular é r 2 - y 2 , logo:

tan ⁡ θ = y r 2 - y 2

Passo 2

Belezinha, a área da seção transversal é:

A y = 1 2 r 2 - y 2 r 2 - y 2 tan ⁡ θ

→ A y = 1 2 r 2 - y 2 tan ⁡ θ

Passo 3

Show de bolinhas, então vamos calcular o volume da cunha, que é:

V = 2 ∫ 0 r A y   d y

→ V = 2 ∫ 0 r 1 2 r 2 - y 2 tan ⁡ θ   d y

→ V = ∫ 0 r r 2 - y 2 tan ⁡ θ   d y

Resolvemos a integral:

V = r 2 y - y 3 3 tan ⁡ θ 0 r

→ V = r 2 y - y 3 3 tan ⁡ θ 0 r

→ V = r 3 - r 3 3 tan ⁡ θ

→ V = 2 3 r 3 tan ⁡ θ

Resposta

V = 2 3 r 3 tan ⁡ θ

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