Se f 2 = 10 e f ' x = x 2 ⋅ f x para todo x , encontre f ' ' 2 .

Enunciado

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão aqui disse pra gente que e , e pediu pra gente encontra

Ou seja, teremos que calcular a derivada de segunda ordem da função definhada por , no ponto .

Ou seja, teremos que derivar novamente a derivada de primeira ordem. Mas repare que essa derivada é formada por um produto entre duas funções, sendo

Para derivar funções que são expressas pela multiplicação entre duas outras funções podemos sempre usar a regra do produto. Assim, vamos fazer

Onde chamaremos

E a regra do produto será:

Maravilha, agora vamos usar todas as informações do enunciado para encontrar essa derivada aí. Beleza!!!

Muito bem, para achar a derivada segunda nós temos que derivar a derivada primeira:

Aplicando a regra do produto:

Sabemos que quando

Se:

Então:

Quase achamos, não é mesmo? Falta somente para conseguirmos nossa resposta.

Para achar vamos fazer a mesma coisa que fizemos no Passo 1, só que para a derivada primeira:

Jogando

Substituindo:

Substituindo na derivada segunda: