Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 48
Se e para todo encontre
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão aqui disse pra gente que e , e pediu pra gente encontra
Ou seja, teremos que calcular a derivada de segunda ordem da função definhada por , no ponto .
Ou seja, teremos que derivar novamente a derivada de primeira ordem. Mas repare que essa derivada é formada por um produto entre duas funções, sendo
Para derivar funções que são expressas pela multiplicação entre duas outras funções podemos sempre usar a regra do produto. Assim, vamos fazer
Onde chamaremos
E a regra do produto será:
Maravilha, agora vamos usar todas as informações do enunciado para encontrar essa derivada aí. Beleza!!!
Passo 2
Muito bem, para achar a derivada segunda nós temos que derivar a derivada primeira:
Aplicando a regra do produto:
Sabemos que quando
Se:
Então:
Quase achamos, não é mesmo? Falta somente para conseguirmos nossa resposta.
Passo 3
Para achar vamos fazer a mesma coisa que fizemos no Passo 1, só que para a derivada primeira:
Jogando
Substituindo:
Substituindo na derivada segunda: