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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 33

Encontre uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas sobre a reta especificada. Em seguida, use a calculadora para determinar a integral com precisão de cinco casas decimais

x 2 + 4 y 2 = 4

  1. Em torno do eixo y=2
  2. Em torno do eixo x=2

Passo 1

Em torno do eixo y = 2 , resolvemos isolando y na equação:

4 y 2 = 4 - x 2

y 2 = 1 - x 2 4

y = ± 1 - x 2 4

Colocando na integral, temos

V x = ∫ - 2 2 π { 2 - - 1 - x 2 4 2 - 2 - 1 - x 2 4 2 } d x

Essa integral pode ser dividida em duas partes, devido os intervalos iguais, então

V x = 2 π ∫ 0 1 8 1 - x 2 4 d x

Essa é uma integral sem antiderivada elementar. Resolvendo com a ajuda da calculadora, temos que V x = 78,95684 .

Já em torno do eixo x = 2 , resolvemos isolando y na equação:

x 2 = 4 - 4 y 2

x = ± 4 - 4 y 2

Colocando na integral, temos

V x = ∫ - 1 1 π { 2 - - 4 - 4 y 2 2 - 2 - 4 - 4 y 2 2 } d x

Essa integral pode ser dividida em duas partes, devido os intervalos iguais, então

V x = 2 π ∫ 0 1 8 4 - 4 y 2 d x

Essa é uma integral sem antiderivada elementar. Resolvendo com a ajuda da calculadora, temos que V x = 78,95684 .

Resposta

(a)   V x = 78,95684

(b) V x = 78,95684

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