Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 20
Se para todo os reais , determinar todos os pontos da curva descrita por nos quais o vetor tangente é paralelo ao vetor . Existem alguns pontos nos quais a tangente é perpendicular a ?
Passo 1
A curva que ele nos deu foi a seguinte:
Como queremos pegar vetores tangentes a , vamos derivar a expressão dessa curva. Assim,
Passo 2
Para começar, vamos encontrar os vetores tangentes que são paralelos ao . Considere .
Como é paralelo ao vetor . Isso quer dizer que ele é um múltiplo de . Logo,
Comparando o primeiro coeficiente:
Olhando agora para o segundo coeficiente:
Como achamos que :
Portanto,
Para finalizar, temos que ver se a última coordenada satisfaz o que achamos!
Como e :
O que é verdade! Como e :
Assim, podemos concluir que no ponto vetor tangente a curva é paralelo ao vetor .
Passo 3
Agora ele nos pede para verificar se existe alguns pontos nos quais a tangente é perpendicular a . Para isso, vamos usar que quando dois vetores são perpendiculares o seu produto escalar é nulo. Então vem comigo!
Considerando :
Fazendo o produto escalar ser zero:
Logo,
Isto é,
Opa, caímos numa equação do segundo grau! Vamos usar a formula de Bhaskara.
Assim,
Como o delta deu negativo, não teremos nenhum pertencente aos reais. Logo, não existe nenhum ponto no qual o vetor tangente é perpendicular a .
Resposta
O único vetor que é tangente a curva e paralelo ao é o vetor . Além disso, não existe nenhum ponto no qual o vetor tangente é perpendicular a .