Uma haste, presa na origem do plano x y , ocupa a posição da reta que faz um ângulo de θ radianos com o eixo positivo dos x . A haste intercepta a reta y = 2 a no ponto A e a circunferência x 2 + y - a 2 = a 2 no ponto B . Quando θ varia, o vértice P do triângulo retângulo A P B descreve uma curva chamada curva de Agnesi.

Sendo assim, como P ( A x ,B y ) temos como equações paramétricas: x = 2 a * cot ⁡ θ , y = 2 a * sin 2 ⁡ θ , θ ∈ [ 0 ,π ]

Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 5a

Uma haste, presa na origem do plano , ocupa a posição da reta que faz um ângulo de radianos com o eixo positivo dos . A haste intercepta a reta no ponto e a circunferência no ponto . Quando varia, o vértice do triângulo retângulo descreve uma curva chamada curva de Agnesi.

Passo 1

Analisando a imagem nós somos capazes de identificar que . Sendo assim, utilizando o triângulo retângulo (sendo um ponto paralelo a no eixo ) como referência conseguimos obter a seguinte relação:

Passo 2

Utilizando agora o triângulo retângulo (sendo um ponto paralelo a no eixo ) como referência nós chegamos na seguinte expressão:

Passo 3

A partir daqui podemos utilizar a propriedade de que todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângulo e tirar as seguintes conclusões sobre o triângulo (sendo o ponto em que a reta corta o eixo ):

Mas como:

Sendo , e os ângulos do triângulo retângulo .

Então:

Além disso, em relação ao triângulo retângulo temos:

Passo 4

Substituindo os valores encontrados nas primeiras expressões encontramos:

Resposta

Sendo assim, como temos como equações paramétricas:

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Verificar que a curvavec r (t) = t c o s (t) vec i + t s e n (t) vec j + t vec k , t = 0 Está sobre um cone.

Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π

Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 1 + cos ⁡ t ,1 + sen ⁡ t ,2 t , t ∈ 0,4 π

Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2

Considere a curva definida por σ t = 1 + 2 ln ⁡ 1 + t , 1 + 1 + t 2 ,t- 1 b) Dê uma equação cartesiana da curvac) Esboce a curva