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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 5a

Uma haste, presa na origem do plano x y , ocupa a posição da reta que faz um ângulo de θ radianos com o eixo positivo dos x . A haste intercepta a reta y = 2 a no ponto A e a circunferência x 2 + y - a 2 = a 2 no ponto B . Quando θ varia, o vértice P do triângulo retângulo A P B descreve uma curva chamada curva de Agnesi.

Passo 1

Analisando a imagem nós somos capazes de identificar que P = ( A x ,   B y ) . Sendo assim, utilizando o triângulo retângulo A O ^ C (sendo C um ponto paralelo a A no eixo x ) como referência conseguimos obter a seguinte relação:

O C → O A → = cos ⁡ θ

O C → = O A → * cos ⁡ θ

A x = O A → * cos ⁡ θ

Passo 2

Utilizando agora o triângulo retângulo B O ^ D (sendo D um ponto paralelo a B no eixo x ) como referência nós chegamos na seguinte expressão:

D B → O B → = sin ⁡ θ

D B → = O B → * sin ⁡ θ

B y = O B → * sin ⁡ θ

Passo 3

A partir daqui podemos utilizar a propriedade de que todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângulo e tirar as seguintes conclusões sobre o triângulo E O ^ B (sendo E o ponto em que a reta y = 2 a corta o eixo y ):

O B → 2 a = sin ⁡ σ

O B → = 2 a * sin ⁡ σ

Mas como:

α + 90 + σ = 180

90 - θ + 90 + σ = 180

- θ + σ = 0

σ = θ

Sendo σ , α e θ os ângulos do triângulo retângulo E O ^ B .

Então:

O B → = 2 a * sin ⁡ θ

Além disso, em relação ao triângulo retângulo A O ^ C temos:

2 a O A → = sin ⁡ θ

O A → = 2 a sin ⁡ θ

Passo 4

Substituindo os valores encontrados nas primeiras expressões encontramos:

A x = O A → * cos ⁡ θ

A x = ( 2 a sin ⁡ θ ) * cos ⁡ θ

A x = 2 a * cot ⁡ θ

B y = O B → * sin ⁡ θ

B y = ( 2 a * sin ⁡ θ ) * sin ⁡ θ

B y = 2 a * sin 2 ⁡ θ

Resposta

Sendo assim, como P ( A x ,   B y ) temos como equações paramétricas:

x = 2 a * cot ⁡ θ ,     y = 2 a * sin 2 ⁡ θ ,     θ ∈ [ 0 ,   π ]

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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 1 + cos ⁡ t ,1 + sen ⁡ t ,2 t , t ∈ 0,4 π
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
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