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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.6 - Ex. 48

Uma torre de resfriamento de um reator nuclear deve ser construída na forma de um hiperboloide de uma folha. O diâmetro na base é 280   m e o diâmetro mínimo, 500   m acima do solo, é 200   m . Encontre uma equação para a torre.

Passo 1

Pessoal, vamos lembrar que o hiperboloide de uma folha tem o seguinte tipo de equação:

x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1

Com essa equação, estamos considerando que o eixo vertical é o eixo z . Como o enunciado fala em diâmetro, faz mais sentido que os cortes horizontais sejam círculos, então faremos a = b :

x 2 a 2 + y 2 a 2 - z 2 c 2 = 1

Passo 2

Show! O enunciado nos diz que o diâmetro mínimo é 200   m , então isso significa que a distância do centro até um vértice é a = 200 2 = 100 . Nossa equação fica assim:

x 2 100 2 + y 2 100 2 - z 2 c 2 = 1

Agora, pra descobrir o valor de c , vamos usar o diâmetro da base da torre. Essa base está 500   m abaixo do diâmetro mínimo, sendo este correspondente a z = 0 . Então, na base, z = - 500 .

x 2 100 2 + y 2 100 2 - - 500 2 c 2 = 1

x 2 100 2 + y 2 100 2 = 1 + 500 2 c 2

x 2 + y 2 = 100 2 + 100 2 500 2 c 2

Chegamos a equação de uma circunferência, onde:

R 2 = 100 2 + 100 2 500 2 c 2

Passo 3

Mas o raio é a metade de um diâmetro, cujo valor na base é 280   m :

280 2 2 = 100 2 + 100 2 500 2 c 2

c 2 = 100 2 500 2 140 2 - 100 2 = 100 2 500 2 240   .   40

c = 100 2 500 2 240   .   40 ≈ 510,31

Assim, a equação para a torre ficará assim:

x 2 100 2 + y 2 100 2 - z 2 ( 510,31 ) 2 = 1

Beleza?

Resposta

x 2 100 2 + y 2 100 2 - z 2 ( 510,31 ) 2 = 1

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Faça uma correspondente entre a equação e seu gráfico (identificado por I - V I I ) . Justifique sua escolha. x 2 + 2 z 2 = 1