Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa

Existe um campo vetorial F tal que

F = x * i^ + y * j^ + z * k^

Passo 1

Fala, meu povo! Beleza? Vamos resolver essa questão:

Para isso, basta utilizar o Teorema que diz o seguinte:

Se F = P i + Q j + R k é um campo vetorial sobre R 3 e P ,   Q e R têm derivadas parciais de segundo ordem contínuas, então devemos ter

∇ ⋅ ∇ × F = 0

ou seja, o divergente do rotacional deve ser nulo.

É justamente essa ideia que vamos aplicar nessa questão.

Passo 2

Foi dado que

∇ × F = x i + y j + z k

Assim, P = x , Q = y e R = z . Observe que as derivadas de qualquer ordem das funções P , Q e R são contínuas (afinal, são simples polinômios :D), de forma que o teorema deve ser válido. Dessa forma, segue que:

∇ ⋅ x i + y j + z k = ∂ ∂ x x + ∂ ∂ y y + ∂ ∂ z z

Resolvendo as derivadas parciais:

∴ ∇ ⋅ x i + y j + z k = 3

Veja que chegamos numa contradição. Afinal, o valor deveria ser zero. Dessa forma, não existe nenhum campo F cujo rotacional seja da forma dada.

Resposta

FALSO

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