Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.Revisão - Ex. 12
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa
Existe um campo vetorial tal que
Passo 1
Fala, meu povo! Beleza? Vamos resolver essa questão:
Para isso, basta utilizar o Teorema que diz o seguinte:
Se é um campo vetorial sobre e e têm derivadas parciais de segundo ordem contínuas, então devemos ter
ou seja, o divergente do rotacional deve ser nulo.
É justamente essa ideia que vamos aplicar nessa questão.
Passo 2
Foi dado que
Assim, , e . Observe que as derivadas de qualquer ordem das funções , e são contínuas (afinal, são simples polinômios :D), de forma que o teorema deve ser válido. Dessa forma, segue que:
Resolvendo as derivadas parciais:
Veja que chegamos numa contradição. Afinal, o valor deveria ser zero. Dessa forma, não existe nenhum campo cujo rotacional seja da forma dada.
Resposta
FALSO