Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.Revisão - Ex. 9
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa
- Se e são campos vetoriais, então
Passo 1
Eaeee... vamos lá? Queremos provar que o rotacional da soma entre dois vetores é igual a soma dos rotacionais de cada vetor. Para isso, vamos lembrar de um conceito que vem lá da álgebra linear. Basicamente, se termos um determinante da forma,
e vamos supor que podemos escrever
Então, ficamos com o seguinte determinante:
Agora, podemos “quebrar” esse determinante em dois da seguinte forma:
Vamos utilizar justamente essa propriedade para resolver a nossa questão.
Passo 2
Sejam e os dois vetores. Então, temos que:
Segue que o rotacional é:
Usando a propriedade anterior, temos que:
Porém, note que o primeiro determinante é, justamente, o rotacional de , enquanto que o segundo determinante é o rotacional de . Dessa forma, temos que:
Dessa forma, a afirmativa é verdadeira.
Resposta
VERDADEIRO