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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.4 - Ex. 13

Trace a curva e calcule a área delimitada por ela.

r = 2   s e n   4 θ

Passo 1

Olá, meu amigooo. Vamos resolver essa atividade aqui.

A gente tem a curva:

r = 2   s e n   4 θ

E ela é dada em coordenadas polares. A gente precisa esboçar ela e precisamos calcular a área dessa curva.

O gráfico de r = 2   s e n   4 θ   é, e a gente o gerou no Desmos:

Lembrando que como estamos utilizando coordenadas polares os valores de r são positivos.

Vamos então integrar a fórmula para a área de uma região cuja fronteira é dada por uma equação polar.

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

Passo 2

Os limites de integração podemos encontrar a partir do gráfico. A linha que forma a fronteira do gráfico começa a ‘varrer’ o gráfico de ( 0 ,   0 ) e da uma volta inteira ( 0 ,   2 π ) , ou seja, percorreu um ângulo θ = 2 π   r a d .

Passo 3

Aplicando os limites de integração   0 ≤ θ ≤ 2 π e substituindo r =   2   s e n   4 θ , obtemos:

A = ∫ 0 2 π 1 2 ∙ 4   s e n 2 4 θ   d θ

A = 2 ∫ 0 2 π s e n 2 4 θ   d θ  

Podemos usar a propriedade trigonométrica: s e n 2 θ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ :

A = 2 ∫ 0 2 π 1 2 1 - cos ⁡ 8 θ   d θ

Vamos separar a integral em duas:

A = ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 8 θ   d θ

A = ∫ 0 2 π d θ - ∫ 0 2 π cos ⁡ 8 θ d θ

Vamos então calcular cada integral:

A = θ - sin ⁡ 8 θ 8 0 2 π

Aplicando os limites de integração:

A = 2 π - 0 - sin ⁡ 8 ⋅ 2 π + sin ⁡ 0

A = 2 π - 0 - 0 - 0

A = 2 π

Resposta

A = 2 π

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