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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 17

11-17. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v .

17. h r ,   s ,   t = ln ⁡ 3 r + 6 s + 9 t ,   1 ,   1 ,   1 ,   v = 4 i + 12 j + 6 k

Passo 1

Então meu amigo, dada a função:

h r ,   s ,   t = ln ⁡ 3 r + 6 s + 9 t

Precisamos encontrar sua derivada direcional no ponto dado em direção a:

  v = 4 i + 12 j + 6 k

Então galera, para determinarmos a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v , precisamos fazer:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Que é o gradiente de f . Em seguida:

D u f = ∇ f ⋅ u

No qual u é o vetor unitário na direção de v . No nosso caso as variáveis são um pouco diferentes, mas o raciocínio é literalmente o mesmo, tudo bem? No nosso caso, temos:

∇ h = ∂ h ∂ r i + ∂ h ∂ s j + ∂ h ∂ t k

Para o vetor u precisaremos tornar o vetor v em um vetor unitário, iremos fazer isso dividindo-o pelo seu modulo.

Passo 2

Descobrindo nosso gradiente:

∇ h = ∂ h ∂ r i + ∂ h ∂ s j + ∂ h ∂ t k

Aqui a gente precisa aplicar a regra da cadeia para realizar essa derivada parcial:

f x = ∂ ln ⁡ r ∂ g r ⋅ ∂ 3 r + 6 s + 9 t ∂ r

Temos então que:

f x = 3 3 r + 6 s + 9 t

Então fazendo isso de forma similar para as outras coordenadas, iremos encontrar:

∇ h = 3 3 r + 6 s + 9 t i + 6 3 r + 6 s + 9 t j + 9 3 r + 6 s + 9 t k

Precisamos calcular o vetor gradiente no ponto dado:

∇ h 1 ,   1 ,   1 = 3 18 i + 6 18 j + 9 18 k

∇ h 1 ,   1 ,   1 = 1 6 i + 1 3 j + 1 2 k

Descobrindo u :

u = v v = 4 i + 12 j + 6 k 4 2 + 12 2 + 6 2

Temos então o nosso vetor unitário:

u = 1 14 4 i + 12 j + 6 k

Passo 3

Sendo assim, nossa derivada direcional será:

D u h 1 ,   1 ,   1 = ∇ h 1 ,   1 ,   1 ⋅ u

Colocando todo mundo que descobrimos:

D u h 1 ,   1 ,   1 = 1 6 i + 1 3 j + 1 2 k ⋅ 1 14 4 i + 12 j + 6 k

Realizando o produto escalar:

D u h 1 ,   1 ,   1 = 1 14 4 6 + 12 3 + 6 2

Terminamos então nossa resolução:

D u h 1 ,   1 ,   1 = 23 42

Resposta

D u h 1 ,   1 ,   1 = 23 42

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