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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 33

Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V x , y , z = 5 x 2 - 3 x y + x y z .

a) Determine a taxa de variação do potencial em P ( 3,4 , 5 ) na direção do vetor v → = i ^ + j ^ - k ^

b) Em qual direção V varia mais rapidamente em P ?

c) Qual a taxa máxima de variação em P ?

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade, e você vai aprender tudooo hoje.

A gente tem o potencial elétrico V dado pela função:

V x , y , z = 5 x 2 - 3 x y + x y z

Deveremos aqui determinar a taxa de variação desse potencial no ponto P 3,4 , 5 e na direção do vetor:

v → = i ^ + j ^ - k ^

Para encontrar essa resposta devemos fazer a derivada direcional do ponto dado, e ela é feita da seguinte forma:

D u V x , y , z = ∇ V ⋅ u →

Em que u → é o vetor unitário da direção em qual queremos calcular. A direção em que  V  muda mais rapidamente é a direção do gradiente que é normatizada. Vamos usar o gradiente de parte a)  e encontrar sua norma e dividir o gradiente com ela.

A derivada direcional é a taxa de mudança em uma determinada direção. Assim, a taxa máxima de variação em um ponto P é igual ao máximo da derivada direcional nesse ponto. O teorema 15 nos diz que a taxa máxima de mudança é igual a magnitude do vetor gradiente.

Com esses conhecimentos em mãos, vamos partir para resolução.

Passo 2

  1. Antes de tudo precisamos calcular o gradiente de V que é dado por:

    2. ∇ V x , y z = ∂ V ∂ x i ^ + ∂ V ∂ y j ^ + ∂ V ∂ z k ^

    As derivadas parciais são dadas por:

    V x , y , z = 5 x 2 - 3 x y + x y z

    Derivando em relação a x e considerando todas as outras variáveis constantes:

    ∂ V ∂ x = ∂ ∂ x 5 x 2 - 3 x y + x y z = 10 x - 3 y + y z

    Derivando em relação a y e considerando todas as outras variáveis constantes:

    ∂ V ∂ y = ∂ ∂ y 5 x 2 - 3 x y + x y z = - 3 x + x z

    Derivando em relação a z e considerando todas as outras variáveis constantes:

    ∂ V ∂ z = ∂ ∂ z 5 x 2 - 3 x y + x y z

    ∂ V ∂ z = x y

    Então o gradiente é dado por:

    ∇ V x , y , z = V x ,   V y ,   V z

    Substituindo os valores que encontramos:

    ∇ V x , y , z = 10 x - 3 y + y z i ^ + - 3 x + x z j ^ + x y k ^

    Passo 3

    Para saber a derivada direcional temos que fazer:

    ∇ V ⋅ v → v →

    Onde temos que multiplicar o gradiente pelo vetor unitário na direção de v → , que é:

    v → v → = i ^ + j ^ - k ^ 1 2 + 1 2 + - 1 2

    v → v → = i ^ + j ^ - k ^ 3

    Então vamos lá!

    D u V x , y , z = ∇ V ⋅ u →

    Calculando então a nossa derivada direcional:

    ∇ V ⋅ v → v → = 10 x - 3 y + y z i ^ + - 3 x + x z j ^ + x y k ^ ⋅ 1 3 i ^ + j ^ - k ^

    Realizando ele produto escalar, devemos multiplicar cada cordenada de um vetor pela respectiva coordenada no outro vetor e realizar o somatório desses produtos:

    ∇ V ⋅ v → v → = 10 x - 3 y + y z - 3 x + x z - x y 3

    Como queremos saber no ponto P = ( 3,4 , 5 ) :

    ∇ V ⋅ v → v → 3,4 , 5 = 10 3 - 3 4 + 4 5 - 3 3 + 3 5 - 3 4 3

    Temos então nossa resposta:

    ∇ V ⋅ v → v → 3,4 , 5 = 32 3

    Passo 4

  2. V varia mais intensamente na direção do gradiente! O nosso gradiente no ponto P é dado por:

    3. ∇ V 3,4 , 5 = 38 i ^ + 6 j ^ + 12 k ^

    E a direção desse vetor é dada por:

    u ^ = ∇ V 3,4 , 5 ∇ V 3,4 , 5

    Encontrando então o vetor unitário:

    u = 38 i ^ + 6 j ^ + 12 k ^ 38 2 + 6 2 + 12 2

    Temos então:

    u ^ = 38 i ^ + 6 j ^ + 12 k ^ 1624

    Passo 5

  3. A taxa máxima de variação de V é simplesmente dada por ∇ V 3,4 , 5 , isso é, o modulo do vetor gradiente no ponto dado:

∇ V 3,4 , 5 = 38 2 + 6 2 + 12 2

∇ V 3,4 , 5 = 1624

Resposta

a)

32 3

b)

u ^ = 38 i ^ + 6 j ^ + 12 k ^ 1624

c)

∇ V 3,4 , 5 = 1624

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