Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V x , y , z = 5 x 2 - 3 x y + x y z . a) Determine a taxa de variação do potencial em P ( 3,4 , 5 ) na direção do vetor v → = i ^ + j ^ - k ^ b) Em qual direção V varia mais rapidamente em P ?c) Qual a taxa máxima de variação em P ?

a) 32 3 b) u ^ = 38 i ^ + 6 j ^ + 12 k ^ 1624 c) ∇ V 3,4 , 5 = 1624

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 33

Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja dado por .

a) Determine a taxa de variação do potencial em na direção do vetor

b) Em qual direção varia mais rapidamente em ?

c) Qual a taxa máxima de variação em ?

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade, e você vai aprender tudooo hoje.

A gente tem o potencial elétrico dado pela função:

Deveremos aqui determinar a taxa de variação desse potencial no ponto e na direção do vetor:

Para encontrar essa resposta devemos fazer a derivada direcional do ponto dado, e ela é feita da seguinte forma:

Em que é o vetor unitário da direção em qual queremos calcular. A direção em que muda mais rapidamente é a direção do gradiente que é normatizada. Vamos usar o gradiente de parte a) e encontrar sua norma e dividir o gradiente com ela.

A derivada direcional é a taxa de mudança em uma determinada direção. Assim, a taxa máxima de variação em um ponto P é igual ao máximo da derivada direcional nesse ponto. O teorema 15 nos diz que a taxa máxima de mudança é igual a magnitude do vetor gradiente.

Com esses conhecimentos em mãos, vamos partir para resolução.

Passo 2

Antes de tudo precisamos calcular o gradiente de que é dado por:

As derivadas parciais são dadas por:

Derivando em relação a e considerando todas as outras variáveis constantes:

Então o gradiente é dado por:

Substituindo os valores que encontramos:

Passo 3

Para saber a derivada direcional temos que fazer:

Onde temos que multiplicar o gradiente pelo vetor unitário na direção de , que é:

Então vamos lá!

Calculando então a nossa derivada direcional:

Realizando ele produto escalar, devemos multiplicar cada cordenada de um vetor pela respectiva coordenada no outro vetor e realizar o somatório desses produtos:

Como queremos saber no ponto :

Temos então nossa resposta:

Passo 4

varia mais intensamente na direção do gradiente! O nosso gradiente no ponto é dado por:

E a direção desse vetor é dada por:

Encontrando então o vetor unitário:

Temos então:

Passo 5

A taxa máxima de variação de é simplesmente dada por , isso é, o modulo do vetor gradiente no ponto dado:

Resposta

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