Determine o comprimento da curva dada.

r(t) = 12i + 8t^(3/2)j + 3t^2k 0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Oie, meu amigo. Vamos resolver essa atividade juntinhos.

Dada a curva parametrizada:

r t =   12 i + 8 t 3 2 j + 3 t 2 k

Queremos o comprimento da curva no intervalo:

0 ≤ t ≤ 1

Em uma equação paramétrica do seguinte tipo:

r t = x t i + y t j + z t k

O comprimento da curva de um ponto t = a até um ponto t = b é dado por:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Os limites de integração já nos foram dados, agora precisamos derivar a nossa funç��o e jogar tudo na nossa fórmula.

Passo 2

Queremos determinar o comprimento da seguinte curva:

r t = 12 t   i + 8 t 3 2 j + 3 t 2   k 0 ≤ t ≤ 1

Vamos utilizar a fórmula e determinar o comprimento:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

L = ∫ 0 1 d d t 12 t 2 + d d t 8 t 3 2 2 + d d t 3 t 2 2 d t

Derivando cada termo:

d d t 12 t = 12

d d t 8 t 3 2 = 3 2 ⋅ 8 ⋅ t 1 2

d d t 3 t 2 = 6 t

Agora podemos colocar todos na integral:

L = ∫ 0 1 12 2 + 12 t 1 2 2 + 6 t 2 d t

Elevando todos ao quadrado:

L = ∫ 0 1 144 + 144 t + 36 t 2 d t

Veja que temos um quadrado perfeito aqui:

L = ∫ 0 1 6 t + 12 2 d t

Podemos retirar a raiz então:

L = ∫ 0 1 6 t + 12 d t

Essa integral sai fácil para a gente:

L = 3 t 2 + 12 t 0 1

Colocando os limites de integração:

L = 3 + 12

L = 15

Resposta

L = 15

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