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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.5 - Ex. 2

Uma carga elétrica é distribuída sobre um disco x 2 + y 2 ≤ 4 de modo que a densidade de carga em x ,   y é σ x ,   y = x + y + x 2 + y 2 (medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total no disco.

Passo 1

Galera, vamos lembrar que a integral que representa a carga elétrica total é:

Q = ∬ D   σ ( x ,   y )   d A

onde D é a região de integração. Nesse caso, D é o disco x 2 + y 2 ≤ 4   , e portanto, em coordenadas polares, a integral vai ficar assim:

Q = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r cos ⁡ θ + r   s e n   θ + r 2   r   d r   d θ

Passo 2

Agora mãos à massa pra resolver a integral dupla!

∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 cos ⁡ θ + r 2 s e n   θ + r 3   d r   d θ = ∫ 0 2 π r 3 3 cos ⁡ θ + r 3 3 s e n   θ + r 4 4 0 2 d θ = ∫ 0 2 π 8 3 cos ⁡ θ + 8 3 s e n   θ + 4 d θ = 4 2 3 s e n   θ - 2 3 cos ⁡ θ + θ 0 2 π = 4   0 - 2 3 + 2 π - 0 + 2 3 - 0 = 8 π

Resposta

Q = 8 π   C

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