Enunciado

63. Um trângulo possui lado c = 2 e ângulos A = π / 4 e B = π / 3 . Determine o comprimento a do lado oposto de A .

Passo 1

Com as informações dadas não conseguimos encontrar o comprimento a diretamente, então vamos usar a Lei dos senos e a Lei dos cossenos.

Primeiro vamos usar a Lei dos cossenos:

b 2 = 2 2 + a 2 - 2 ⋅ 2 a cos ⁡ ( π / 3 )

b 2 = 4 + a 2 - 4 a ⋅ 1 2

b 2 = a 2 - 2 a + 4 ,     ( I )

Passo 2

Agora precisamos usar a Lei dos senos:

sen ⁡ π 4 a = sen ⁡ π 3 b

2 2 a = 3 2 b

Passo 3

Isolando b para substituir na equação ( I ) :

b = a 3 2

Substituindo

a 3 2 2 = a 2 - 2 a + 4

3 2 a 2 = a 2 - 2 a + 4  

1 2 a 2 + 2 a - 4 = 0

a 2 + 4 a - 8 = 0

a = - 4 ± 4 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 8 2 ⋅ 1

Como a > 0 :

a = - 4 + 48 2

a = 1,464

Resposta

a = 1,464

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