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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 229c

Transforme em produto: a) y = s e n a + s e n (a + r) + s e n (a + 2 r) + s e n ( a + 3 r )

Passo 1

Para transformar em produto, vamos utilizar uma das fórmulas dadas anteriormente neste capítulo, como temos uma soma de senos, vamos utilizar:

s e n p + s e n q = 2 * s e n (p + q)/(2) * cos (p - q)/(2)

Diferente dos outros itens deste exercício, temos 4 parcelas somadas, então vamos utilizar a fórmula separadamente de duas em duas parcelas

Passo 2

Focando nas parcelas ( s e n a + s e n (a + 3 r) ), podemos admitir p = a + 3 r e q = a , vamos substituir na fórmula:

s e n p + s e n q = 2 * s e n (a + 3 r + a)/(2) * cos ((a + 3 r) - a)/(2)

s e n ( a + 3 r ) + s e n a = 2 * s e n (2 a + 3 r)/(2) * cos (3 r)/(2)

Passo 3

Agora focando nas parcelas s e n (a + 2 r) + s e n ( a + r ) , podemos admitir p = a + 2 r e q = a + r , substituindo na fórmula:

s e n p + s e n q = 2 * s e n (a + 2 r + a + r)/(2) * cos ((a + 2 r) - ( a + r ))/(2)

s e n (a + 2 r) + s e n (a + r) = 2 * s e n (2 a + 3 r)/(2) * cos (r)/(2)

Passo 4

Nossa expressão neste momento pode ser escrita como:

y = 2 * s e n (2 a + 3 r)/(2) * cos (3 r)/(2) + 2 * s e n (2 a + 3 r)/(2) * cos (r)/(2)

Colocando 2 * s e n (2 a + 3 r)/(2) em evidência, ficamos com:

y = 2 * s e n (2 a + 3 r)/(2) * (cos (3 r)/(2) + cos (r)/(2)) Agora podemos transformar a soma cos (3 r)/(2) + cos (r)/(2) em um produto através da fórmula dada:

cos p + cos q = 2 * cos (p + q)/(2) * cos (p - q)/(2)

No nosso caso, p = (3 r)/(2) e q = (r)/(2) , substituindo na fórmula ficamos com:

cos p + cos q = 2 * cos ((3 r)/(2) + (r)/(2))/(2) * cos ((3 r)/(2) - (r)/(2))/(2)

cos (3 r)/(2) + cos (r)/(2) = 2 * cos (2 r)/(2) * cos (r)/(2)

cos (3 r)/(2) + cos (r)/(2) = 2 * cos r * cos (r)/(2)

Resposta

Como resposta, basta escrevermos toda nossa expressão obtida, ou seja:

y = 2 * s e n (2 a + 3 r)/(2) * (2 * cos r * cos (r)/(2))

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