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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 18

Transforme o sistema:

m 1 d 2 x 1 d t 2 = k 2 x 2 - x 1 - k 1 x 1 + F 1 t ;

m 2 d 2 x 2 d t 2 = - k 3 x 2 - k 2 x 2 - x 1 + F 2 t

Em um sistema de primeira ordem fazendo y 1 = x 1 , y 2 = x 2 , y 3 = x 1 ' e y 4 = x 2 ' .

Passo 1

O exercício nos pede para transformar o sistema de equações de segunda ordem em um novo sistema, mas que dependa apenas da primeira derivada de uma função. Tudo bem??? Vamos lá então!!!

Passo 2

Para fazer isso aplicaremos as substituições: y 1 = x 1 , y 2 = x 2 , y 3 = x 1 ' e y 4 = x 2 ' . Então para a primeira equação:

m 1 d 2 x 1 d t 2 = k 2 x 2 - x 1 - k 1 x 1 + F 1 t

m 1 x 1 ' ' = k 2 x 2 - x 1 - k 1 x 1 + F 1 t

m 1 y 3 ' = k 2 y 2 - y 1 - k 1 y 1 + F 1 ( t )

Para a segunda equação:

m 2 d 2 x 2 d t 2 = - k 3 x 2 - k 2 x 2 - x 1 + F 2 t

m 2 x 2 ' ' = - k 3 x 2 - k 2 x 2 - x 1 + F 2 t

m 2 y 4 ' = - k 3 y 2 - k 2 y 2 - y 1 + F 2 ( t )

Passo 3

Já temos duas equações, porém temos quatro funções para determinar: y 1 , y 2 , y 3 e y 4 , então precisamos de mais duas equações.

Podemos escrever:

y 1 = x 1

y 3 = x 1 '

Então

y 3 = y 1 '

Analogamente:

y 2 = x 2

y 4 = x 2 ' = y 2 '

Ficamos então com o seguinte sistema de primeira ordem:

m 1 y 3 ' = k 2 y 2 - y 1 - k 1 y 1 + F 1 ( t ) m 2 y 4 ' = - k 3 y 2 - k 2 y 2 - y 1 + F 2 ( t ) y 3 = y 1 ' y 4 = y 2 '

Resposta

O sistema equivalente de primeira ordem é:

m 1 y 3 ' = k 2 y 2 - y 1 - k 1 y 1 + F 1 ( t ) m 2 y 4 ' = - k 3 y 2 - k 2 y 2 - y 1 + F 2 ( t ) y 3 = y 1 ' y 4 = y 2 '

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