Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 9

(a) Transforme o sistema dado em uma única equação de segunda ordem.

x 1 ' = 1,25 x 1 + 0,75 x 2 ;

x 2 ' = 0,75 x 1 + 1,25 x 2

(b) Encontre a solução do sistema dado que também satisfaz as condições iniciais x 1 0 = - 2 , x 2 0 = 1 .

(c) Esboce o gráfico da solução no plano x 1 x 2 para t ≥ 0 .

Passo 1

O item (a) nos pede para resolver o sistema de equações. Para isso, vamos primeiro deixar x 2 em função de x 1 :

x 1 ' = 1,25 x 1 + 0,75 x 2

x 2 = 4 3 x 1 ' - 5 3 x 1

Substituindo x 2 na segunda equação:

x 2 ' = 0,75 x 1 + 1,25 x 2

x 2 ' = 3 4 x 1 + 5 4 x 2

4 3 x 1 ' - 5 3 x 1 ' = 3 4 x 1 + 5 4 ( 4 3 x 1 ' - 5 3 x 1 )

4 3 x 1 ' ' - 5 3 x 1 ' = 3 4 x 1 + 5 3 x 1 ' - 25 12 x 1

16 12 x 1 ' ' - 20 12 x 1 ' = 9 12 x 1 + 20 12 x 1 ' - 25 12 x 1

16 12 x 1 ' ' - 40 12 x 1 ' + 16 12 x 1 = 0

16 x 1 ' ' - 40 x 1 ' + 16 x 1 = 0

4 x 1 ' ' - 10 x 1 ' + 4 x 1 = 0

2 x 1 ' ' - 5 x 1 ' + 2 x 1 = 0

Se x 1 = e c t ,

x 1 ' = c e c t

x 1 ' ' = c 2 e c t

Então, nossa equação fica:

2 c 2 e c t - 5 c e c t + 2 e c t = 0

e c t 2 c 2 - 5 c + 2 = 0

2 c 2 - 5 c + 2 = 0

c = 1 / 2   e   c = 2

Então a solução para x 1 é:

x 1 = C 1 e t / 2 + C 2 e 2 t

Em que C 1 e C 2 são duas constantes quaisquer.

Agora que encontramos x 1 podemos usá-lo para obter x 2 :

x 2 = 4 3 x 1 ' - 5 3 x 1

x 2 = 4 3 C 1 e t / 2 + C 2 e 2 t ' - 5 3 ( C 1 e t / 2 + C 2 e 2 t )

x 2 = 4 3 ( 1 2 C 1 e t 2 + 2 C 2 e 2 t ) - 5 3 C 1 e t / 2 - 5 3 C 2 e 2 t

x 2 = 2 3 C 1 e t 2 + 8 3 C 2 e 2 t - 5 3 C 1 e t / 2 - 5 3 C 2 e 2 t

x 2 = - C 1 e t 2 + C 2 e 2 t

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para encontrar as funções x 1 ( t ) e x 2 ( t ) que também atendem aos valores de condição inicial x 1 0 = - 2 , x 2 0 = 1 .

Como vimos no item (a) a função x 1 que é solução do problema é:

x 1 = C 1 e t / 2 + C 2 e 2 t

Para t = 0 :

x 1 0 = - 2 = C 1 e 0 + C 2 e 0

- 2 = C 1 + C 2

Analogamente, encontramos a solução para x 2 :

x 2 = - C 1 e t 2 + C 2 e 2 t

Para t = 0 :

x 2 0 = 1 = - C 1 e 0 + C 2 e 0

1 = - C 1 + C 2

Ficamos então com o seguinte sistema:

- 2 = C 1 + C 2 1 = - C 1 + C 2

Então:

- 1 = 2 C 2 → C 2 = - 1 2

C 1 = - 2 - C 2 → C 1 = - 3 2

Substituindo as cosntantes C 1 e C 2 nas funções solução:

x 1 = - 3 2 e t 2 - 1 2 e 2 t

x 2 = 3 2 e t 2 - 1 2 e 2 t

Passo 3

Nosso último passo é desenhar as curvas x 1 e x 2 que encontramos no item (b). Elas são esboçadas a seguir:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Transforme o sistema dado em uma única equação de segunda ordem. x 1 ' = 3 x 1 - 2 x 2 ; x 2 ' = 2 x 1 - 2 x 2 (b) Encontre a solução do sistema dado que também satisfaz as condições iniciais x 1
Sistemas de equação de primeira ordem podem ser transformados, algumas vezes, em uma única equação de ordem maior. Considere o sistema: x 1 ' = - 2 x 1 + x 2 ; x 2 ' = x 1 - 2 x 2 (a) Resolva a primei
Transforme as equações: d I d t = V L ; d V d t = - I C - V R C Para o circuito em paralelo em uma única equação de segunda ordem.
Sejam x = x 1 t , y = y 1 t e x = x 2 t , y = y 2 t duas soluções do sistema linear não-homogêneo x ' = p 11 t x + p 12 t y + g 1 ( t ) ; y ' = p 21 t x + p 22 t y + g 2 ( t ) Mostre que x = x 1 t - x