Sistemas de equação de primeira ordem podem ser transformados, algumas vezes, em uma única equação de ordem maior. Considere o sistema: x 1 ' = - 2 x 1 + x 2 ; x 2 ' = x 1 - 2 x 2 (a) Resolva a primeira equação para x 2 e substitua na segunda equação, obtendo, assim, uma equação de segunda ordem para x 1 . Resolva essa equação para x 1 e depois determine também x 2 .(b) Encontre a solução do sistema dado que também satisfaz as condições iniciais x 1 0 = 2 , x 2 0 = 3 .(c) Esboce a curva, para t ≥ 0 , dada em forma paramétrica pelas expressões para x 1 e x 2 encontradas em (b).

Enunciado

O item (a) nos pede para resolver o sistema de equações. Para isso, vamos primeiro deixar em função de :

Substituindo na segunda equação:

Se ,

Então, nossa equação fica:

Então a solução para é:

Em que e são duas constantes quaisquer.

Agora que encontramos podemos usá-lo para obter :

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para encontrar as funções e que também atendem aos valores de condição inicial , .

Como vimos no item (a) a função que é solução do problema é:

Para :

Analogamente, encontramos a solução para :

Para :

Ficamos então com o seguinte sistema:

Então:

Substituindo as cosntantes e nas funções solução:

Nosso último passo é desenhar as curvas e que encontramos no item (b). Elas são esboçadas a seguir:

Ei, a resposta está no passo a passo :)