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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 8

(a) Transforme o sistema dado em uma única equação de segunda ordem.

x 1 ' = 3 x 1 - 2 x 2 ;

x 2 ' = 2 x 1 - 2 x 2

(b) Encontre a solução do sistema dado que também satisfaz as condições iniciais x 1 0 = 3 , x 2 0 = 1 / 2 .

(c) Esboce o gráfico da solução no plano x 1 x 2 para t ≥ 0 .

Passo 1

O item (a) nos pede para resolver o sistema de equações. Para isso, vamos primeiro deixar x 2 em função de x 1 :

x 1 ' = 3 x 1 - 2 x 2

x 2 = 3 2 x 1 - 1 2 x 1 '

Substituindo x 2 na segunda equação:

x 2 ' = 2 x 1 - 2 x 2

3 2 x 1 - 1 2 x 1 ' ' = 2 x 1 - 2 ( 3 2 x 1 - 1 2 x 1 ' )

- 1 2 x 1 ' ' + 3 2 x 1 ' = 2 x 1 + x 1 ' - 3 x 1

- 1 2 x 1 ' ' + 1 2 x 1 ' + x 1 = 0

Se x 1 = e c t ,

x 1 ' = c e c t

x 1 ' ' = c 2 e c t

Então, nossa equação fica:

- 1 2 c 2 e c t + 1 2 c e c t + e c t = 0

e c t - 1 2 c 2 + 1 2 c + 1 = 0

- 1 2 c 2 + 1 2 c + 1 = 0

- c 2 + c + 2 = 0

c = - 1   e   c = 2

Então a solução para x 1 é:

x 1 = C 1 e - t + C 2 e 2 t

Em que C 1 e C 2 são duas constantes quaisquer.

Agora que encontramos x 1 podemos usá-lo para obter x 2 :

x 2 = 3 2 x 1 - 1 2 x 1 '

x 2 = 3 2 C 1 e - t + C 2 e 2 t - 1 2 C 1 e - t + C 2 e 2 t '

x 2 = 3 2 C 1 e - t + 3 2 C 2 e 2 t - 1 2 ( - C 1 e - t + 2 C 2 e 2 t )

x 2 = 2 C 1 e - t + 1 2 C 2 e 2 t

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para encontrar as funções x 1 ( t ) e x 2 ( t ) que também atendem aos valores de condição inicial x 1 0 = 3 , x 2 0 = 1 / 2 .

Como vimos no item (a) a função x 1 que é solução do problema é:

x 1 = C 1 e - t + C 2 e 2 t

Para t = 0 :

x 1 0 = 3 = C 1 e 0 + C 2 e 0

3 = C 1 + C 2

Analogamente, encontramos a solução para x 2 :

x 2 = 2 C 1 e - t + 1 2 C 2 e 2 t

Para t = 0 :

x 2 0 = 1 2 = 2 C 1 e 0 + 1 2 C 2 e 0

1 2 = 2 C 1 + 1 2 C 2

1 = 4 C 1 + C 2

Ficamos então com o seguinte sistema:

3 = C 1 + C 2 1 = 4 C 1 + C 2

Então:

- 2 = 3 C 1 → C 1 = - 2 3

C 2 = 3 - C 1 → C 2 = 11 3

Substituindo as cosntantes C 1 e C 2 nas funções solução:

x 1 = - 2 3 e - t + 11 3 e 2 t

x 2 = - 4 3 e - t + 11 6 C 2 e 2 t

Passo 3

Nosso último passo é desenhar as curvas x 1 e x 2 que encontramos no item (b). Elas são esboçadas a seguir:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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