Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.7 - Ex. 35
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de no conjunto .
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:
Queremos determinar os valores de máximos e mínimos absolutos de
Para isso, precisamos fazer as derivadas parciais com relação a e e igualar os seus resultados a zero para encontrarmos os pontos críticos.
Em seguida, iremos analisar a inequação que o enunciado nos deu em :
Dica: para ficar mais fácil o nosso entendimento, vamos tratar essa inequação como a seguinte equação:
Com isso, é só a gente aplicar a restrição com os cálculos que a gente fizer haha.
Com isso, iremos aplicar essa equação em para encontrarmos os pontos de máximo e mínimo!!
Ficou confuso?? Então vamos juntos aqui embaixo!!
😉
Passo 2
Vamos fazer as derivadas parciais de , a começar por :
Fazendo o como constante e derivando , temos:
Agora vamos para :
Fazendo o como constante e derivando , temos:
Igualando ambas equações a zero e colocando num sistema, obtemos:
Resolvendo o sistema, encontramos como ponto crítico.
Passo 3
Agora, analisando a equação da circunferência que o enunciado nos deu, isolando , temos:
Agora vamos substituir esse valor na nossa função :
Estendendo os termos, temos:
Passo 4
Derivando essa equação e igualando a zero, obtemos:
Resolvendo a equação acima, encontramos os seguintes resultados:
Aqui a gente descarta o por conta da restrição imposta em .
Assim, vamos substuir em :
Agora vamos substuir em :
Passo 5
Checando os pontos da extremidade da nossa circunferência (já que ), obtemos:
E
Note que:
E que
Assim, podemos concluir que os valores de máximo e mínimo absolutos de em são, respectivamente: