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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.7 - Ex. 35

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D .

f x , y = 2 x 3 + y 4

D = x , y | x ≥ 0 , y ≥ 0 , x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

f x , y = 2 x 3 + y 4

Queremos determinar os valores de máximos e mínimos absolutos de f

Para isso, precisamos fazer as derivadas parciais com relação a x e y e igualar os seus resultados a zero para encontrarmos os pontos críticos.

Em seguida, iremos analisar a inequação que o enunciado nos deu em D :

x 2 + y 2 ≤ 1

Dica: para ficar mais fácil o nosso entendimento, vamos tratar essa inequação como a seguinte equação:

x 2 + y 2 = 1

Com isso, é só a gente aplicar a restrição com os cálculos que a gente fizer haha.

Com isso, iremos aplicar essa equação em f para encontrarmos os pontos de máximo e mínimo!!

Ficou confuso?? Então vamos juntos aqui embaixo!!

😉

Passo 2

Vamos fazer as derivadas parciais de f x , y , a começar por f x :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 2 x 3 + y 4

Fazendo o y como constante e derivando x , temos:

∂ f ∂ x = 6 x 2

Agora vamos para f y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 2 x 3 + y 4

Fazendo o x como constante e derivando y , temos:

∂ f ∂ y = 4 y 3

Igualando ambas equações a zero e colocando num sistema, obtemos:

6 x 2 = 0 4 y 3 = 0

Resolvendo o sistema, encontramos x , y = 0,0 como ponto crítico.

Passo 3

Agora, analisando a equação da circunferência que o enunciado nos deu, isolando y , temos:

x 2 + y 2 = 1 ∴

y 2 = 1 - x 2

Agora vamos substituir esse valor na nossa função f x , y :

f x , y = 2 x 3 + y 4 ∴

f x , y = 2 x 3 + y 2 2 ∴

g x = f x , y = 2 x 3 + 1 - x 2 2

Estendendo os termos, temos:

g x = x 4 + 2 x 3 - 2 x 2 + 1

Passo 4

Derivando essa equação e igualando a zero, obtemos:

4 x 3 + 6 x 2 - 4 x = 0

Resolvendo a equação acima, encontramos os seguintes resultados:

x = 0

x = - 2

x = 1 / 2

Aqui a gente descarta o x = - 2 por conta da restrição imposta em D .

Assim, vamos substuir x = 0 em g x :

g 0 = 0 4 + 2 ⋅ 0 3 - 2 ⋅ 0 2 + 1 ∴

g 0 = 1

Agora vamos substuir x = 1 / 2   em g x :

g 1 2 = 1 2 4 + 2 ⋅ 1 2 3 - 2 ⋅ 1 2 2 + 1 ∴

g 1 2 = 13 16

Passo 5

Checando os pontos da extremidade da nossa circunferência (já que 1 2 = ± 1 2 ), obtemos:

g - 1 = - 1 4 + 2 ⋅ - 1 3 - 2 ⋅ - 1 2 + 1 ∴

g - 1 = - 2

E

g 1 = 1 4 + 2 ⋅ 1 3 - 2 ⋅ 1 2 + 1 ∴

g 1 = 2

Note que:

f 1,0 = g 1 = 2

E que

f - 1,0 = g - 1 = - 2

Assim, podemos concluir que os valores de máximo e mínimo absolutos de f em D são, respectivamente:

f 1,0 = 2

f - 1,0 = - 2

Resposta

f 1,0 = 2

f - 1,0 = - 2

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Determine os valores máximos e mínimo absolutos de f no conjunto D. f x , y = 1 + 4 x - 5 y , D é a região triangular fechada com vértices 0,0 ,2,0e0,3
Encontre os valores máximo e mínimo absoluto de f na região D . f x , y = x 2 + y 2 + x 2 y + 4 d = x , y x ≤ 1 ,y ≤ 1 }
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D .33. f x , y = x 4 + y 4 - 4 x y + 2 . D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 3 ,0 ≤ y ≤ 2 }
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D . f x , y = x y 2 , D = x , y x ≥ 0 , y ≥ 0 ,x 2 + y 2 ≤ 3